2020年北京市东城区中考数学二模试卷 (解析版)

在Rt△AOD和Rt△ACB中， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD， ∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴即∴AC＝

， ， ．

26．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．

（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；

（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围； （3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值． 【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求a的值，由顶点坐标可求点C坐标； （2）分顶点C在线段AB下方和线段AB上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解；（3）由题意可得当x＝3时，y＝0，即可求解． 解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2， ∴a＝0，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2， ∴顶点C坐标为（，﹣

），

（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，

由题意可得：解得：0≤a＜6；

，

当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4， ∴∴a＝

，

时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；

，

综上所述：当0≤a＜6或

（3）由题意可得当x＝3时，y＝0， 即9﹣15+a﹣2＝0， ∴a＝8．

27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当∠ADB＝

时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式

直接表示出它们之间的关系．

【分析】（1）先判断出∠BDE＝90°，再根据勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判断出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出结论；

（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，进而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判断出BE＝CD，即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判断出DF＝2AD?sin解：（1）AD2+BD2＝CD2，

，即可得出结论．

理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE， 则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°， ∵∠ADB＝30°，

∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，

在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2， ∴BD2+AD2＝BE2， ∵∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∴AD2+BD2＝CD2；

（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE， ∴∠ADE＝45°， ∵∠BDA＝45°， ∴∠BDE＝90°，

根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2， ∵DE2＝2AD2， ∴2AD2+BD2＝BE2， ∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∴2AD2+BD2＝CD2；

（3）如图3，

将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，

∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α， ∵∠ADB＝α， ∴∠BDE＝90°，

根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2， ∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC，

∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∴DE2+BD2＝CD2，

过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α， 在Rt△ADF中，sin∠DAF＝

，

，

∴DF＝AD?sin∠DAF＝AD?sin∴DE＝2DF＝2AD?sin即：（2AD?sin

，

）2+BD2＝CD2．