2020年北京市东城区中考数学二模试卷 (解析版)

21．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长到点F，使EF＝EO，连接AF，BF． （1）求证：四边形AOBF是矩形；

（2）若AD＝5，sin∠AFO＝，求AC的长．

x＞0）22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0，的图象经过点A（1，﹣4），直线y＝﹣2x+m与x轴交于点B（1，0）． （1）求k，m的值；

（2）已知点P（n，﹣2n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数y＝（k≠0．x＞0）的图象于点D，当PD＝2PC时，结合函数的图象，求出n的值．

23．教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现的效果．现对教育未来指数得分前35名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述和分析后，给出了部分信息．

a．教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤t≤90）；

b．教育未来指数得分在60≤x＜70这一组的是： 61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5

c.35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如图：

d．中国和中国香港的教育未来指数得分分别为32.9和68.5． （以上数据来源于《国际统计年鉴（2018）》和国际在线网） 根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第 ；

（2）在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线l的上方，请在图中用“〇”画出代表中国香港的点；

（3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为 万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是 ．（只填序号即可）

①相较于点A，C所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距，“十 三五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平；②相较于点B，C所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值． 24．如图，在△ABC中，AB＝6cm，P是AB上的动点，D是BC延长线上的定点，连接DP交AC于点Q．

小明根据学习丽数的经验．对线段AP，DP，DQ的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，DP，DQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：

AP

位置1 0.00

位置2 1.00

位置3 2.00

位置4 3.00

位置5 4.00

位置6 5.00

位置7 6.00

DP DQ

4.99 4.99

4.56 3.95

4.33 3.31

4.32 2.95

4.53 2.80

4.95 2.79

5.51 2.86

在AP，DP，DQ的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当AP＝（DP+DQ）时，AP的长度约为 cm．

25．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED；

（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．

（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；

（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围； （3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值． 27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；

（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；

（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当∠ADB＝

时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式

直接表示出它们之间的关系．

28．对于平面直角坐标系：xOy内任意一点P．过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．

BC0）4）（1）点A（2，，（4，，（﹣2，（2）点P在以Q（

）的垂点距离分别为 ， ， ．

，1）为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h