第一章《立体几何初步》单元小结导航1

第一章《立体几何初步》单元小结导航

知识链接 构成几何体的基本元素 平行投影与中心投影 空间几 何体 柱，锥，台，球的 柱，锥，台，直观图和三视图的画法 结构特征 球的表面积 和体积

平面的基本性质 确定平面的条件

空间平行直线及其传递性 点，线，面之 空间中的平行关系 直线与平面平行的判定及性质 间的位置关系 平面与平面平行的判定及性质

直线与平面垂直的判定及性质 空间中的垂直关系

平面与平面垂直的判定及性质

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（1） 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。 （2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并

会用斜二测法画出它们的直观图。

（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了

解空间图形的不同表示形式。

（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。 （5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。 （7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

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1.学习方法指导 （1） 空间几何体

①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。 ③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由S正棱台侧?V正棱台?h3(s?12(c?c?)h?和

ss??s?)，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。

（2） 点，线，面之间的位置关系

①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直

平面与平面垂直。

2.思想方法小结

在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。 3.综合例题分析 例1：如图，P是?ABC所在平面外一点，A?，B?，C?分别是?PBC，?PCA，?PAB的重心。

（1） 求证：平面A?B?C??平面ABC； P （2） 求S?A?B?C?：S?ABC.

证明:(1) 连结PA?,PB?,PC?,设PA??BC?D, PB??AC?E,PC??AB?F,则D,E,F分

别是BC,AC,AB的中点,且

PA?PD?PB?PE?PC?PF?23B? C? A? C

A B

所以, A?B??DE A?C??DF A?B??平面ABC,A?C??平面ABC 且DE?平面ABC,DF?平面ABC, 所以 A?B??平面ABC,A?C??平面ABC 从而, 平面A?B?C??平面ABC. (2) 由平面几何知识有，所以，

SA?B?C?S?ABC?19S?DEFS?ABC?14，

SA?B?C?S?DEF?49

.

点评: (1)由线线平行 线面平行 面面平行,是证明平行问题的常用方法.

(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。

例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。

分析：如图，设P为正四面体ABCD内任一点，AO为正四面体 A 的高，点P到各面的距离分别为

d1,d2,d3,d4则

P

B

CD

VABCD?VP?ABC?VP?ACD?VP?ABD?VP?BCD

即 S?BCD?AO?3113S?ABC?d1?13S?ACD?d2?13S?ABD?d3?13S?BCD?d4

? 正四面体各面是全等的正三角形

?

13S?BCD?AO?13S?BCD(d1?d2?d3?d4)

? d1?d2?d3?d4?AO

点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题

化繁为易。

例3：圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为

下底面半径r1,r2（r1?r2）。

218。求圆台的上，

解：如图，设圆台母线为l， 则l?r1?r2，由平面几何知识得，

(2R)?(r2?r1)?(r1?r2) 即 R?r1r2

2222又 S圆台全??(r1?r2)l??r12??r22???(r1?r2)2?r12?r22?

??S球?4?R?4?r1r2

222???(r?r)?r?r1212??2由题意得，

4?r1r2?218

即 4r12?17r1r2?4r22?0

2 r2?4r1 代入R?r1r2 得 ，r1?R2，r2?2R.

点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线

来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题.

(2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.

例4．已知三棱锥A?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1，AB⊥平面

BCD，?ADB?60?，

E,F分别是AC,AD上的动点，且

AEAC?AFAD??(0???1)，

（Ⅰ）求证：不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当?为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

证（Ⅰ）∵AB?平面BCD，∴AB?CD，

∵CD?BC，且AB?BC?B，∴CD?平面ABC， 又∵

AEAC?AFAD??（0???1），

∴不论?为何值，恒有EF//CD，∴EF?平面ABC，

EF?平面BEF， ∴不论?为何值恒有平面BEF⊥平面ABC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE?EF，又要平面BEF?平面ACD， ∴BE?平面ACD，∴BE?AC，

??∵BC?CD?1，?BCD?90，?ADB?60，