第二节氢原子的波函数

s 轨道角度分布图示意图

如图8-4。Yl ，m(θ，φ)值随方位角改变而变化的情况如图8-5，图8-6。由于角度波函数只与轨道角动量量子数和磁量子数有关，而与主量子数无关，只要l、m相同，即使n不同，它们的角度分布图都是一样的。 YPx的轨道角度分布图

p轨道角度分布图示意图

表示Y值形成的两个波瓣是沿x轴的方向伸展的，而在yz平面上的Y值为零，这个平面称为节面(nodal plane),即函数值为零的平面。

据此可以类推符号为YPy、YPz的轨道角度分布图的含义。

d轨道角度分布图 符号为

轨道角度分布图表示Y的波瓣沿xy轴夹角的方向伸展，而在yz

平面和xz平面上的Y值为零，所以，共有两个节面。原子轨道角度分布图是它们的角度波函数通过计算求值作图得到的，例如，据此可以类推 为

和

的轨道角度分布图的含义。至于符号

的轨道角度分布图则表示Y沿z轴伸展，xy平面还有一个较小环形分布。符号为

= ，说

的轨道角度分布图表示Y沿x轴和y轴伸展，也有两个节面。s轨道的Ys函数等于

明在任何方位角其值均为相同的常数，所以s 轨道的角度分布图为一球面如图8-5所示。又如pz

轨道的YPz函数等于

，将各种不同的θ角代入这个函数，可得如下结果：

30° 60° 90° 0 0 120° 150° 180° -1 θ cosθ YPz 0° 1 从原点出发，引出不同θ值时的射线，在射线截取长度为对应的YPz值的点，连接这些射线上的点，并将所得图形绕z轴旋转360°，便得到双球面图形。 如图8-5所示。

原子轨道角度分布图中的正负号除了反映Y函数值的正负外，也反映电子的波动性。它类似经典波中的波峰与波谷，当两个波相遇产生干涉时，同号则相互加强，异号则相互减弱或抵消。这一点在讨论化学键的形成时有重要意义。

应该指出，Y值的大小（如Ys= ）并不代表电子离核远近的数值，Y值与r的变化无关。只有R n，l（r）函数才与电子离核远近（r）有关。

二）电子云的角度分布图 s、p、d轨道电子云的角度分布图（截面图），简称Y 2图。它是Y 2l，m(θ，φ)对θ，φ作的图。此图与原子轨道角度分布图相似，但有两点区别，一是Y 2图“瘦”，因为│Y│＜1，平方后就更小；二是Y 2图均是正值。无正负号之分。注意，Y 2图只表示在空间不同方位角电子出现的概率密度的变化情况，不表示电子出现的概率密度与距离的关系。

径向分布函数图

径向分布函数示意图

径向分布函数(radial distribution function)用D(r)表示，D(r) = R2 n ,l (r) 4πr 2 。它的意义是表示电子在一个以原子核为中心，半径为r 、微单位厚度为dr的同心圆薄球壳夹层内出现的概率，即反映了氢原子核外电子出现的概率与距离r的关系。注意这里讲的是概率而不是概率密度。概率 = 概率密度×体积，薄球壳夹层的表面积为4πr2, 薄球壳夹层的体积为dv = 4πr2 dr 。所以，

2

概率 =∣ψ∣4πr2dr = R2 n ,l (r) 4πr2 dr = D(r) dr

从径向分布函数图可以看出： 1.在基态氢原子中，电子出现概率的极大值在r＝a0(玻尔半径，a0=的球面上，它与概率密度极大值处（原子核附近）不一致，核附近概率密度虽然很大，但在此处薄球壳夹层体积几乎小得等于零，随着r的增大，薄球壳夹层体积越来越大，但概率密度却越来越小，这两个相反因素决定1s径向分布函数图在a0出现一个峰，从量子力学的观点来理解，玻尔半径就是电子出现概率最大的球壳离核的距离。

2.径向分布函数图中的峰数有(n- l)个，例如，1s有1个峰，4s有4个峰，2p有1个峰，3p有2个峰… 3.轨道角动量量子数l 相同，主量子数n不同时，主峰距核位置不同，n越小，距核越近，n越大，距核越远，好象电子处于某一电子层。

4.主量子数n相同，轨道角动量量子数l 不同时，ns比np多一个离核较近的峰，np又比nd多一个离核较近的峰…第一个峰与核的距离是ns＜ np＜ nd＜ nf，说明不同l的“钻穿”到核附近的能力不同。钻穿能力的顺序是ns＞ np＞ nd＞ nf。例如4s的第一个峰竟钻穿到3d的主峰之内去了。这

说明玻尔理论中假设的固定轨道是不存在的，外层电子也可以在内层出现，这正反映了电子的波动性。