概率论习题（打印）

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 于是有

P{三次测量中?至少有一次绝对值?30米}?1?P(D)?1?0.13025?0.86975．

2X四、设随机变量X~N(?,?)，求随机变量函数Y?e的概率密度（所得的概率分布称为对数正态

分布）．

解：由题设，知X的概率密度为

fX(x)? 从而可得随机变量Y的分布函数为

12??e?(x??)22?2(???x???)

FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)．

当y?0时，有FY(y)?0；此时亦有FY?(y)?0． 当y?0时，有

FY(y)?P(X?lny)? 此时亦有FY?(y)??2??1lny??e?(x??)22?2dx．

12??ye?(lny??)22?2．

从而可得随机变量Y的概率密度为

?0,?(lny??)2?fY(y)??12?2e,?2??y?

2五、设随机变量X与Y独立，X~N(?1,?1)，Y~N(? (2) 随机变量函数Z2y?0;y?0.

2,?2)，求：

(1) 随机变量函数Z1?aX?bY的数学期望与方差，其中a及b为常数；

2?XY的数学期望与方差．

222,D(Y)??2．从而有

解：由题设，有E(X)??1,D(X)??1；E(Y)??2(1)E(Z1)?E(aX?bY)?E(aX)?E(bY)?aE(X)?bE(Y)?a?1?b?2； D(Z1)?D(aX?bY)?D(aX)?D(bY)?aD(X)?bD(Y)?a?1?b?2． (2)E(Z2)?E(XY)?E(X)E(Y)??1?2；

D(Z2)?D(XY)?E(XY)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y) ?[D(X)?E(X)][D(Y)?E(Y)]?E(X)E(Y) ?D(X)D(Y)?D(X)E(Y)?D(Y)E(X) ??1?2??1?2??2?1．

2222222222222222222222221４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理

四、 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X)?E(Y)?0，D(X)?16，

D(Y)?25，并且cov(X,Y)?12，求(X,Y)的联合概率密度．

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

解：已知?x??y?0，?x?16?4，?y?25?5，r?(X,Y)?3164，1?r2?． 1?r2?1?()2?5255cov(X,Y)?x?y3?．从而 5 进一步按公式f(x,y)?联合概率密度为

12??x?y1?r2?12(1?r2)e2(x??x)22r(x??x)(y??y)(y??y)[??]22?x?x?y?y，可得(X,Y)的

1?32(16?50?25)f(x,y)?e．

32?

二、设随机变量X与Y独立，并且X~N(0,1)，Y~N(1,22)．求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度． 解：由题设，有

E(X)?0，D(X)?1，E(Y)?1，D(Y)?4．

又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有

E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?E(3)?2． D(Z)?D(2X?Y?3)?4D(X)?D(Y)?D(3)?8．

且Z~N(E(Z),D(Z))?N(2,8)，故随机变量Z?2X?Y?3的概率密度为

4?

三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X(mm)表示轴的直径，随机变量

Y(mm)表示

轴衬的内径，已知X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．

解：由题设，知随机变量X与Y是独立的，且X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)．设Z?Y?X根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有

Z~N(52?(?1)?50,0.42?(?1)2?0.32)?N(2,0.52)．

根据题目假设，我们知道当1?Z?Y?X?3时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为

1?2Z?23?2Z?2P(1?Z?3)?P(??)?P(?2??2)??(2)??(?2)?2?(2)?1

0.50.50.50.5 ?2?0.977． ?12?0.9544

四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．

fZ(z)?12?8e?(z?2)22?825(x23xyy2?1e?(z?2)216 (???z???)．

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则?~B(100,0.8)．

E??100?0.8?80． D??100?0.8?(1?0.8)?16．

86?8070?80（1）P(70???86)??0,1()??0,1()??0,1(1.5)??0,1(?2.5)

1616 ??0,1(1.5)?[1??0,1(2.5)]?0.9332?0.9938?1?0.927 （2）P(??80)?1?P(0???80)?1?[?0,1(80?800?80)??0,1() 1616?1??0,1(0)??0,1(?20)?2??0,1(0)??0,1(20)?2?0.5?1?0.5．

五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？

（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X表示“一年内死亡的人数”，则X~B(10000,0.006)．

EX?10000?0.006?60． DX?10000?0.006?(1?0.006)?59.84．

0?60??60120?60（1）P(1000X?10000?12)?1?P(0?X?120)?1?P(??)

59.8459.8459.84 ?1?[Φ0,1(7.7)?Φ0,1(?7.7)]?2?2Φ0,1(7.7)?0． 即保险公司不可能亏本．

（2）P(10000?12?1000X?50000)?P(0?X?70)?P(?6059.8459.84 ??(1.293． )??(?7.756)??(1.293)??(7.756)?1?0.9032即保险公司一年利润不少于50000元的概率为0.9032．

?X?60?1059.84)