概率论习题（打印）

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

三、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

x?1?4?e, x?0 ;f(x)??4

? 0 , x?0 .? 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有

P(X?1)??1????1?4f(x)dx??e4dx??e41?1?e 0041xx1进而有 P(X?1)?1?P(X?1)?e

设Y表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y的概率分布为

100 ?200 Y ?14p

从而有

1?e 14?14e 1414?14EY??200?(1?e)?100?e?300?e答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为33.64元．

????200?33.64

2四、设随机变量X1,X2,?Xn相互独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方差为?．求这些

1n随机变量的算术平均值X??Xi的数学期望与方差．

ni?12解：因为E(Xi)??，D(Xi)??，且随机变量X1,X2,?Xn相互独立．所以有

n1n11n1nE(X)?E(?Xi)?E(?Xi)??E(Xi)?????，

ni?1ni?1ni?1ni?1n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(?Xi)?2ni?1nni?11D(X)??in2i?1n??i?1n2??2n．

五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客

下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．

解: 设Xi表示\第i站的停车次数\i?1,2,?,10). 则Xi服从\0?1\分布. 其中

?0,若在第i站无人下车Xi??

?1,若在第i站有人下车于是Xi的概率分布为

Xi 0 1 概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 p 设X?10?120() 1010?1201?() 10?Xi?1ni, 则X表示沿途停车次数, 故有

101010?12010?120EX?E(?Xi)??EXi?10{0?()?1?[1?()]}

1010i?1i?120 ?10(1?0.9)?8.748 即停车次数的数学期望为8.748.

12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f?x,y??A?y?1求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)．

解: (1) 由

?x22?2 .

??1????????f(x,y)dxdy?1. 有

A2???x?????????y?12?2dxdy?A?d??02???r0?r2?1?2dr??A?1

解得, A??.

(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy?????21??dy??????xx22?y?1?2dx?0.

由对称性, 知 E(Y)?0.

D(X)?E[(X?EX)]?EX?? ?22?????????xf(x,y)dxdy???1????dy??????xx222?y?1?2dx

10?1r2?1 同理, 有 D(Y)???.

cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY)

00??2?d????r3?r2?2dr?2???r(1?r2)?r??2dr?[ln(1?r2)?1??]??? 201?r ???ydy?????????xyf(x,y)dxdy

???????????xyf(x,y)dxdy?????1???????xx22?y?1?2dx?0.

二、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?1,y?x,0?x?1;f(x,y)??

?0,其它．求(1) cov(X,Y)；(2) X与Y是否独立，是否相关，为什么？

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 解: (1) 因为 EX???????????xf(x,y)dxdy??xdx?dy??2x2dx?0?x01x12 3EY??所以有

?E(XY)???????????????????yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0

01xxyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0

0?x?x1x????2cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???xyf(x,y)dxdy

????3??xdx?ydy?0．

0?x1x (2) 当x?(0,1)时,有 fX(x)??????f(x,y)dy??dy?2x; 当x?(0,1)时, 有fX(x)?0.即

?xx?2xfX(x)???0x?(0,1)x?(0,1)

?1dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)??y??同理有 fY(y)??1

dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)???y?因为 fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X与Y不是独立的．又因为cov(X,Y)?0, 所以X与Y是不

相关的．

三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望E(X)的差的绝对值大于三倍标准差

?(X)的概率．

解：P(??E??3D?)?D?1?．

(3D?)29

四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A

在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A的次数”，则?~B(10000,0.5)且有

E??np?10000?0.5?5000 D??npq?1000?00.5?(1?0.5)?2500于是有

mnpqpq?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1??1? n(0.01p)2(0.01)2n ?1?pq?1?0.25?0.75

P(

五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少

个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则ξ~B(n,0.1)，现要求n.

Eξ?0.1n Dξ?0.09n

要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，因为P(10?ξ?n)?0.9，所以 10?Eξξ?Eξn?Eξ10?0.1nξ?0.1nn?0.1nP(??)?P(??)

DξDξDξ0.3n0.3n0.3n概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

10?0.1nξ?0.1n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()

0.3n0.3n0.3n0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1 （德莫威尔—Laplace定理）

0.3n0.1n?10(3n)?1因为n?10，所以3n?5，从而有Φ，故Φ()?0.9． 0,10,10.3n0.1n?10(1.28)?0.8997查表有Φ，故有?1.28，解得n?146. 0,10.3n答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．

13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

2一、设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求（1）P(?1.6?X?5.8)；（2）P(X?4.56)．

X?1?2.4) 2 ?Φ0,1(2.4)?Φ0,1(?1.3)?Φ0,1(2.4)?[1?Φ0,1(1.3)]?0.9918?1?0.9032?0.8950

解：(1) P(?1.6?X?5.8)?P(?2.6?X?1?4.8)?P(?1.3?X?1?1.78) 2 ?1?[Φ0,1(1.78)?Φ0,1(?2.78)]?1?Φ0,1(1.78)?1?Φ0,1(2.78)]

(2) P(X?4.56)?1?P(X?4.56)?1?P(?2.78? 2?0.9625?0.9973?0.0402.

2二、已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N(100,0.6)．规定直径在100?1.2（mm）

之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p表示这种机械零件的不合格品率，则p?P(X?100?1.2)?1?P(X?100?1.2)．

?1.2X?1001.2X?100??)?P(?2??2) 0.60.60.60.6 ??(2)??(?2)??(2)?[1??(2)]?2?(2)?1 ?2?0.9772?1?0.9544 故p?1?0.9544?0.0456．

而P(X?100?1.2)?P(

三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度

402?求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率．

解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为

f(x)?1e?(x?20)23200

D?{第一次ξ?30}?{第二次ξ?30}?{第三次ξ?30}

因为ξ~N(20,40)，所以由事件的相互独立性，有

2P(D)?(P{ξ?30})3?(P{ξ??30?ξ?30})3?[Φ0,1(?1.25)?1?Φ0,1(0.25)]3

?(2?0.5987?0.8944)?0.5069?0.13025

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