概率论习题（打印）

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

?y, 当0?x?1,0?y?1?f(x,y)??2?y, 当0?x?1,1 ?y?2

?0, 其它.?Z?X?Y的联合分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{(x,y)?D}，其中D是x?y?z与f(x,y)的定义域的公共部分.

z?0,z?3?0?z20?z?1?2?故有 FZ(z)??2 3?z?3z?1?z?2?2?1292?z?3?z?3z?2?2 从而随机变量Z?X?Y的概率密度为

z?0,z?3?0?z0?z?1?fZ(z)??

?2z?31?z?2??2?z?3?z?3

三、电子仪器由六个相互独立的部件Lij（i?1,2;j?1,2,3）组成，联接方式如右图所示．设各个部

件的使用寿命Xij服从相同的指数分布e(?)，求仪器使用寿命的概率密度．

解: 由题设，知Xij的分布函数为

?1?e??x,x?0FXij??

x?0?0,先求各个并联组的使用寿命Yi (i?1,2,3)的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,

第i个并联组才停止工作,所以有

Yi?max(?1i,?2i) (i?1,2,3)

从而有Yi (i?1,2,3)的分布函数为

?(1?e??y)2,y?0FYi(y)?FX1iFX2i??

0,y?0?设Z\仪器使用寿命\因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有Z?min(Y1,Y2,Y3).从而有Z的分布函数为

?1?[1?FY1(z)][1?FY2(z)][1?FY3(z)],FZ(z)???0,?1?[1?(1?e??z)2]3,z?0?? z?0?0,z?0z?0概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

故Z的概率密度为

?6?e?3?z(1?e??z)(2?e??z)2,z?0fZ(z)??

z?0?0,

10 随机变量的数学期望与方差

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放

回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为

0 1 2 3 X p

即

3 49 449 2201 220X p 于是有 0 1 2 3 0.75 EX?0?0.205 0.041 0.004 399133 ?1??2??3??444220220110即

EX?0?0.75?1?0.205?2?0.041?3?0.004?0.3

X2的分布为

X2 0 1 4 9 p

即

3 49 449 2201 220X2 p 于是有

0 1 4 9 0.75 0.205 0.041 0.004 EX2?0?即

39919 ?1??4??9??44422022022EX2?0?0.75?1?0.205?4?0.041?9?0.004?0.4091

从而有

DX?EX2?(EX)2??X933242471?()??0.3191 22110133100?DX?0.3191?0.565

二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p，求射击次数的数学期望及方差．

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 解：设X表示“第i次击中”(i?1,2,?)，则X的分布为

n 1 2 3 ?? ?? X p p pq ?? ?? pq2 pqn?1 于是有 EX??ipqi?1?i?1?p?iqi?1?i?1qp1?p(?qi)??p()??? 21?qp(1?q)i?19 ?? ?? ?X2的分布为 X2 p 于是有 1 4 p ?2i?1?pq ipq2 ?n2 pqn?1 ?? ?? EX??ipq2i?1?p[q(?q)?]??p(?qi)??i?1i?1p(1?q)2?p21???

(1?q)3p2p2p进一步有

DX?EX2?(EX)2?

三、设离散型随机变量X的概率函数为

211211??()??

pp2pp2p2k1P[X?(?1)]?k,k?1,2,?,

k2 问X的数学期望是否存在？若存在，请计算E(X)；若不存在，请解释为什么．

kkk??2k1(?1)kk2k2P[X?(?1)]??(?1)?k??解：因为?xiP(X?xi)??(?1)不绝对收敛，kkk2ki?1k?1k?1k?1所以?没有数学期望．

??k

1?,?四、设随机变量X的概率密度为f(x)???1?x2?0 ,?解：E(X)?x?1;x?1. 求数学期望E(X)及方差D(X)．

?????xf(x)dx??x??121?111?1?x22dx?0 dx?D(X)??xf(x)dx??x?????1?1?x2???021x21?x2dx

?

2x11 [?1?x2?arcsinx]1?0π222五、（拉普拉斯分布）设随机变量X的概率密度为f(x)?及方差D(X)． 解：EX?1?xe, (???x???) ．求数学期望E(X)2?????xf(x)dx?1???xxedx?0 ???2概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

DX??x2f(x)dx???????1??2?x2?xxedx?xedx??(3)?2!?2 ????02（分部积分亦可）

11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理

一、设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求Y?解：X的概率分布为

X p

Y的概率分布为

Y p

Y2的分布为

Y2 p 于是有 X(3?X)的数学期望及方差． 22 3 0 1 0.216 0.432 0.288 0.064 0 1 0.28 0.72 0 1 0.28 0.72 EY?0?0.28?1?0.72?0.72 EY2?0?0.28?1?0.72?0.72

DY?EY2?(EY)2?0.72?(0.72)2?0.2016

二、过半径为R的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．

解：在圆周上任取一点O，并通过该点作圆得直径OA．建立平面直角坐标系，以O为原点，且让OA在x轴的正半轴上．通过O任作圆的一条弦OB，使OB与x轴的夹角为?，则?服从[?均匀分布，其概率密度为

??2,2]上的

??1,??[??2f(?)?????0,??[?2?弦OB的长为L(?)?2Rcos?,?2．

?,]2]??[???2,2] ，故所有弦的平均长度为

E[L(?)]???????f(?)L(?)d???2??1?2?2Rcos?d?

2?sin?0 ?4R???20cos?d??4R?4R??．