概率论习题（打印）

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设Ai表示“第一次取得i个新球”(i?0,1,2,3)，则

3112C3C32C9C3C9108127P(A0)?3??P(A)?? P(A1)? 233220220C12220C12C1203C3C984P(A3)?? 3220C12设B表示“第二次取出的都是新球”，则

333331C927C8108C784C6P(B)??P(Ai)P(BAi)??3??3??3??3

220C12220C12220C12220C12i?01212714108784177616 ??????????0.146

22055220552204422011532400

4 随机事件的独立性·独立试验序列

一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．

解：设Ai表示“第i台机床不需要照管”(i?1,2,3)，则

P(A1)?0.9 P(A2)?0.8 P(A3)?0.7

再设B表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则

B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3

于是有

P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.9?0.8?0.7?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)

?0.902．

（另解）设Bi表示“有i台机床需要照管”(i?0,1)，B表示“在一小时内三台车床

中最多有一台需要工人照管”，则B?B0?B1且B0、B1互斥，另外有

P(B0)?0.9?0.8?0.7?0.504

P(B1)?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)?0.398 故P(B)?P(B0?B1)?P(B0)?P(B1)?0.504?0.398?0.902．

二、电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成．设电池a,b,c损坏的概率分别是0.3、

0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设A1表示“a损坏”；A2表示“b损坏”；A3表示“c损坏”；则

P(A1)?0.3 P(A2)?P(A3)?0.2 又设B表示“电路发生间断”，则

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

B?A1?A2A3

于是有

P(B)?P(A1?A2A3)?P(A1)?P(A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328．

111三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、、，求能将此密码

534译出的概率．

解：设A表示“甲能译出”；B表示“乙能译出”；C表示“丙能译出”，则

111P(A)? P(B)? P(C)?

534设D表示“此密码能被译出”，则D?A?B?C，从而有

P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)

?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(C)P(A)?P(A)P(B)P(C) 111111111111?????????????0.6． 5345354545341112（另解）P(D)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?)(1?)(1?)?，从而有

534523P(D)?1?P(D)?1???0.6

55

四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为0.4,0.5,0.7．飞机被一

人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设A1表示“甲命中”；A2表示“乙命中”；A3表示“丙命中”；则

P(A1)?0.4 P(A2)?0.5 P(A3)?0.7

设Bi表示“i人击中飞机” (i?0,1,2,3)，则

P(B0)?P(A1A2A3)?P(A1P)(A2)P(A3)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09 P(B1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)

?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.36

P(B2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.41

P(B3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14 设A表示“飞机被击落”，则由题设有

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率

P(AB0)?0 P(AB1)?0.2 P(AB2)?0.6 P(AB3)?1

故有

P(A)??P(Bi)P(ABi)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458．

i?03

五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在

该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．

解：设Ai表示“第i人贡献正确意见”，则P(Ai)?0.7 (i?1,2,?,9)．

又设m为作出正确意见的人数，A表示“作出正确决策”，则

P(A)?P(m?5)?P9(5)?P9(6)?P9(7)?P9(8)?P9(9)

567?(0.7)5?(0.3)4?C9?(0.7)6?(0.3)3?C9?(0.7)7?(0.3)2? ?C989?C9?(0.7)8?(0.3)1?C9?(0.7)9

?126?(0.7)5?(0.3)4?84?(0.7)6?(0.3)3?36?(0.7)7?(0.3)2?

?9?(0.7)8?(0.3)1?(0.7)9

?0.1715?0.2668?0.2668?0.1556?0.0403 ?0.901．

六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的

概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n次试验，则

P{A至少发生一次}?1?P{A一次都不发生}?1?(1?p)n

要1?(1?p)n?p，即要(1?p)n?1?p，从而有n?log(1?p)(1?p)?1. 答：至少需要进行一次试验．

5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不

再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为

0 1 2 3 X p 即

1C9 1C1211C3C9?1 1C12C111C32C9?1 2C12C103C3 3C12X p 0 1 2 3 3 49 449 2201 220概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 亦即

0 1 2 3 X p 0.75 0.205 0.041 0.004

二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调

整之间生产的合格品数的概率分布．

解：设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设q?1?p，则ξ的概率分布为

n 0 1 2 ?? ?? X p p pq ?? ?? pq2 pqn

三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．

（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X表示“取出的样本中的次品数”，则X服从超几何分布，即X的概率函数为

6?xC4xC16P(X?x)?6C20(x?0,2,3,4)

从而X的概率分布为

X p 即

0 1 2 3 4 1001 48452184 484591 32356 9691 323X p 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031

（2）设X表示“取出的样本中的次品数”，则X服从超几何分布，即X的概率函数为

P(X?x)?C6x(0.2)x(1?0.2)6?x从而X的概率分布为 X 0 1 2 (x?0,2,3,4,5,6)

3 4 5 6 p 即

4()5 54454443426?6 15?6 20?6 15?6 6?6 555551 65X p 0 1 2 3 4 5 6 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001

四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时

内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算(p?0.01)

44P(ξ?4)?C300p4(1?p)296?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877

（2）用泊松分布计算(λ?np?300?0.01?3)