北京师范大学硕士生开题报告样本07年5月-北京师范大学数学科学 - 图文

北 京 师 范 大 学

博士研究生学位论文开题报告

题 目 带移民的催化分枝过程与仿射过程

研 究 生 姓 名 学 号 导师姓名、职称 李增沪教授 系 所 数学科学学院 专 业 概率论与数理统计 研 究 方 向 马氏过程 入 学 时 间 2004 年 9 月 毕 业 时 间 2007 年 6 月

北京师范大学研究生院

一、立论依据 （选题的研究意义、国内外研究现状分析） 分枝过程是概率理论研究中活跃而富有成果的分支之一. 离散时间离散状态 Galton-Waston 过程 (GW-过程) 是最简单的分枝过程. 它是描述粒子群体发展演化的数学模型. 如改变时间尺度并令粒子质量以适当方式趋于0, 则Feller (1951) 指出 GW-过程趋于一类扩散过程. Ji?ina (1958) 称后者为连续时间连续状态的分枝过程 (简称CB-过程). Watanabe (1969) 给出了CB-过程分枝特征的一般刻画. Kawazu 与 Watanabe (1971) 定义了相应的移民过程 (CBI-过程), 并指出 CBI-过程也可由带移民GW-过程 (GWI-过程) 经过重整化取极限得到. 此后, 诸多学者在这一领域取得了大量成果. 关于分枝过程的各种极限定理 (包括极限分布, 条件极限分布等), 参见 Athreya 与 Ney (1972), Pinsky (1971), Pakes (1998, 1999) 及 Li (2000a). 关于分枝过程与 Lévy 过程、O-U 型过程的联系, 参见 Le Gall 与 Le Jan (1998a,b), Li(2000). 关于利用非Lipschitz 系数的随机方程构造 CBI-过程, 参见 Ikeda 与 Watanabe (1989), Dawson 与Li (2006), Lambert~(2007). 关于分枝过程在金融数学上的应用, 参见 Cox 等(1985), Duffie 等(2003). 等等. 经典分枝过程的基本假定是每个粒子按照相同的概率分布彼此独立的进行分枝, 这给数学上的处理和模型的简化带来极大的方便. 然而从生物种群的建模来看, 上述假定并不符合实际背景. 因为在大多数情况下, 群体的分枝演化过程都会受到个体间相互作用的影响. 解决这一问题的自然想法是以经典的分枝过程为基础, 构造更为一般的具有相互作用的分枝过程. 在众多扩展模型中, 催化分枝过程是近十年来广为关注的一个课题. Dawson 与 Fleischmann (1997) 首次引入测度值意义下的催化分枝过程. 此后多位学者对它进行了深入的研究; 参见有关综述性文章 Dawson与Fleischmann (2000, 2002) 以及Klenke (2000). 这类分枝过程源于生物学和化学中催化反应的建模. 在催化反应中通常有两类粒子, 我们分别称为催化粒子和反应粒子. 催化粒子自身分枝演化的同时, 对反应粒子进行催化, 加快反应粒子的分枝速度. 按照这一思想, Dawson 与 Li (2006) 通过证明一类随机积分方程具有唯一强解构造了所谓催化CBI-过程. 简单地讲, 此类过程的第一个坐标作为催化物过程, 是一个通常的CBI-过程; 第二个坐标作为反应物过程, 是一个分支率受前者控制的~CBI-过程. 一个简单的例子由以下随机方程给出 dx(t)??1x(t)dB1(t) 与 dy(t)??2x(t)y(t)dB2(t) （1） 其中?1, ?2为常数, B1(?)与B2(?)是两个一维的布朗运动. 作为上述方程唯一的解, (x(?),y(?))即为催化~CBI-过程. 与通常催化分枝过程的构造不同, 这里驱动上述随机方程的两个布朗运动B1(?)与B2(?)并不一定是相互独立的. 引入此类模型的动机基于以下两点: 首先, 从催化反应的建模看, 反应中的催化粒子和反应粒子受同一环境影响, 很可能具有相依的分枝机制. 因此假定B1(?)与B2(?)是相依的似乎更贴近催化反应的实际背景. 再者, 经典的 CBI-过程在短期利率的研究中被称为 Cox-Ingersoll-Ross 利率模型 (CIR 模型); 参见Cox 等 (1985). 作为此类模型金融意义上的推广, Duffie 等 (2003) 引入了仿射过程的概念. 仿射过程涵盖了包括 CBI-过程和O-U~型过程在内的一大类马氏过程, 在金融数学中有着广泛的应用. Dawson 与Li (2006) 在仿射过程与催化CBI-过程之间建立了有趣的联系. 他们证明了仿射过程可由带催化的CBI-过程的波动极限得到. 因此从仿射过程的观点看, 假定B1(?)与B2(?)相依, 从而引入上述催化CBI-过程是非常自然的. 我们知道经典的CBI-过程可由一列GWI-过程经重整化后取极限得到. 借助重整化极限过程我 们可以清楚地解释了CBI-过程的直观意义. 本学位论文准备研究的第一个问题是催化CBI-过程是 < 第 2 页 共 7 页 > 研究生院培养处制表

否也可由类似的粒子系统逼近的方法得到. 尽管 Dawson 与 Li 利用随机积分方程构造了该过程, 但选择粒子系统逼近的方法无疑具有更清晰的直观背景, 因此所得的模型也更自然. 我们希望了解在单边催化与分枝相依双重作用下催化分枝过程的长期行为, 特别是催化物与反应物分枝机制的相依性是否导致驱动噪声的相依性---如何量化? 为此, 我们有必要首先从微观粒子的角度出发, 寻找催化CBI-过程的离散状态对应模型. 受Dawson 与Li (2006) 的启发, 我们将通过证明一类由Poisson 随机测度驱动的随机积分方程具有唯一强解来构造带移民的离散状态催化分枝过程. 如果可以顺利完成此类离散状态模型的构造, 我们将考察在自然的重整化 (rescaling) 之下离散状态催化分枝模型的高密度极限定理问题 关于离散状态催化分枝模型, 另一个研究问题是从波动极限的角度考察它与仿射马氏过程之间的联系. 如前所述, Dawson 与Li (2006) 在仿射过程与催化CBI-过程之间建立了有趣的联系. 他们证明了仿射过程可由带催化的CBI-过程的波动极限得到. 受此思想启发, 我们猜想带移民离散状态分枝过程的高密度极限也为一类彷射马氏过程. 上述研究是有趣的, 因为从应用的角度看, 从离散状态模型出发考察上述联系将更为自然. 我们知道, 一维的CBI-过程可由GWI-过程经重整化后依有限维分布收敛得到; 参见Kawazu 与 Watanabe (1971). 近来Li (2005) 证明在一组简单的条件下上述收敛在轨道空间 D([0,?),??)上依然成立. 上述提到的一组简单的条件源于Li (1991) 关于一类连续函数的积分表示结果. 由此另一个研究问题是将上述表示结果推广至多维情形, 在此基础上证明二维的CBI-过程可由两物种GWI-过程经重整化后依轨道弱收敛得到. 二、研究方案 1． 研究目标、研究内容和拟解决的关键问题 本学位论文研究的主要目标有二: 1. 研究带移民的离散状态催化分枝过程在不同重整化 (rescaling) 之下的轨道弱收敛定理. 2. 研究带移民的多物种分枝过程的重整化极限 本学位论文的研究内容: 1. 证明在一组简单条件下, 一列‘重整化概率母函数’的极限函数具有Lévy-Khinchin 型表示. 该表示结果将用于解决带跳扩散过程逼近问题. 2. 对一列带移民的离散状态催化分枝过程选取自然的尺度变换, 考虑其高密度极限问题, 考察离散状态模型与其连续状态对应物之间的联系. 3. 对一列带移民的离散状态催化分枝过程选取合适的尺度变换, 考虑其波动极限问题, 研究此类过程与仿射过程的联系, 4. 研究两物种GWI-过程的轨道弱收敛问题, 本学位论文拟解决的关键问题是: 1. 经过自然尺度变换后的一列带移民的离散状态催化分枝模型是否会轨道弱收敛至由Dawson和Li 定义的催化CBI-过程? 如果不收敛, 那么所得到的极限过程其表现形式是什么? 与催化CBI-过程有何异同? 2. 带移民的离散状态催化分枝模型能否与仿射马氏过程之间建立联系?我们应选择什么样的尺度变换? < 第 3 页 共 7 页 > 研究生院培养处制表

2． 拟采取的研究方法（或技术路线、实验方案）及可行性分析 1. 为证明一列‘二维重整化概率母函数’的极限函数具有Lévy-Khinchin 型表示, 我们将采用改进的Venttsel’ 的方法; 参见Venttsel’ (1959). 其中部分的技巧也源于 Li (2007) 以及 Sato (1999). 这种方法的好处在于可以解释表示结果中各个参数的直观含义, 并具有一定的普适性. 2. 为得到离散状态催化模型的高密度极限定理, 我们计划选用一类随机积分方程来刻画极限过程. 我们将利用类似的Yamada-Watanabe 的方法及对Poisson型跳的分析来证明此类随机方程的解的唯一性问题. 同时我们将利用半鞅的极限定理来处理轨道弱收敛问题, 其中关键的一步需要利用‘二维重整化概率母函数’的极限函数的Lévy-Khinchin 型表示. 3. 为得到离散状态催化模型的波动极限定理及两物种GWI-过程重整化极限定理, 我们将采用Ethier 和Kurtz (1986) 提供的半群收敛工具, 主要的思想是将过程的轨道弱收敛问题归结为所对应生成元的某种意义下的收敛. 3． 本研究的特色与创新之处 1. 本学位论文特色之一在于利用一类Poisson随机测度驱动的随机方程刻画和构造了带移民的离散状态催化分枝过程 (催化DBI-过程). 这种方法在马氏链的研究中并不常见, 但我们发现利用这种方法可以更简洁、恰当的刻画某些具有交互作用的分枝模型. 同时我们也利用一类白噪声和泊松随机测度驱动的随机方程构造了一类新的催化分枝过程，该过程可通过上述催化DBI-过程，经过重整化后取高密度极限得到, 因此可以视为催化DBI-过程的连续状态对应物. 2. 催化分枝过程和仿射过程是两类新的随机过程模型, 前者起源于生物学和化学模型的研究, 后者主要来源于数理金融. 我们的波动极限定理在上述两个研究领域建立了有趣的联系, 具有一定的理论意义和应用前景. 3. 证明了一列‘重整化’概率母函数的极限函数在一组简单条件下具有Levy-Khinchin 型表示. 该表示结果可用于多维连续状态分枝过程的分枝特征的刻画. 4．预期的论文进展和成果 1. 2005年12月—2006年3月研究在一组简单条件下, 一列‘重整化概率母函数’的极限函数具有Lévy-Khinchin 型表示. 并利用该表示结果证明带移民的多物种分枝过程的重整化极限定理 2. 2006年 4月—2006年7月研究带移民的离散状态催化分枝模型能否与仿射马氏过程之间建立联系, 证明一列带移民的离散状态催化分枝模型的高密度极限为仿射马氏过程, 并考虑其逆问题. 3. 2006年8月—2007年2月研究带移民的离散状态催化分枝模型的高密度极限, 并利用一类白噪声和泊松随机测度驱动的随机方程完全刻画了极限过程. 4. 2007年3月—2007年5月整理并完成博士学位论文. < 第 4 页 共 7 页 > 研究生院培养处制表