东北师大附属中学高三一轮导学案：直线与圆：圆与圆的位置关系[A]

14、如图，圆C通过不同的三点P（K，O）、Q（2， 0）、R（0，1），已知圆C在点P的切线斜率为1，试求圆C的方程． y

R

P

O Q x

C

课时作业（一）解析

221、A 2、B 3、C 4、A 5、A 6、45 7、(x?1)?(y?2)?25 8、3或7 9、4 10、

?x?3?2??y?1?2?1

11、解：设过点（3，1）且与圆相切的直线的方程为y?1?k(x?3)，即kx?y?1?3k?0，由

d?|k?1?3k|1?k2?2，解得：k??3，即：3x?4y?13?0，由于点（3，1）在圆外，切线有两4条，另一条为x?3。

12、解：圆心在直线x?2y?0和2x?y?0的交角平分线x?3y?0或3x?y?0上，由于圆过点A（0，5），所以圆心C在3x?y?0，设C(t,3t)，

2222|2t?3t|5?t2?(3t?5)2，t?1,5，故圆

的方程为?x?1???y?3??5和?x?5???y?15??125。

13、解：（1）切点、圆心及点P三点连线可构一个Rt△，其中切线是一条直角边，利用勾股定理可得切线长＝x0+y0+Dx0+Ey0+F 。

4222（2）设P（x,y），由（1）结论得切线长S＝x+y－4x ＝5x+8x+9 ，当且仅当x＝－5 ，即P（－

2214547 ,－ ）时，切线长度最小，最小值是. 55514、解：.设圆C的方程为x?y?Dx?Ey?F?0，

2由于k,2为方程x?Dx?F?0的两根

22∴k?2??D,2k?F 即D??(k?2),F?2k 又因为圆过点R（0，1），故1＋E＋F=0, ∴E=－2k－1

∴圆的方程x?y?(k?2)x?(2k?1)y?2k?0 圆心C坐标(22k?22k?12k?1 解得k??3 ,)∵圆在点P的切线斜率为1 ∴KCP??1?222?k22∴所求圆的方程为x?y?x?5y?6?0.

课时作业（二）

一、选择题 1、把直线y?3x绕原点逆时针方向旋转，使它与圆x2?y2?23x?2y?3?0相切，3则直线转动的最小正角是（ ） A．

??25 B． C．? D．? 3362y的最大值是（ ） x2、如果实数x,y满足等式(x?2)2?y2?3，那么

A．

313 B． C． D．3

322

3、圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2 的点有（ ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

4、若过定点M(?1,0)且斜率为k的直线与圆x?4x?y?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是( )

A. 0?k?225 B. ?5?k?0 C. 0?k?13 D. 0?k?5

225、直线y=2x＋m和圆x?y?1 交于A、B两点，以ox轴为始边，OA、OB为终边的角记为?、?，则sin(???)等于 （ ）

4 54 C．关于m的二次函数 D．－

5A．关于m的一次函数 B．二、填空题

6、圆x2?y2?2上的点到直线3x?4y?25?0的距离的最小值为________________.

7、已知直线x?2y?3?0交圆x2?y2?x?6y?F?0于点P,Q，O为坐标原点，且

OP?OQ，则F的值为 ．

8、若直线x?2y?m?0按向量a?(?1,?2)平移后与圆c:x?y?2x?4y?0 相切，则实数m的值为 ．

9、已知两圆x2?y2?10x?10y?0和x2?y2?6x?2y?40?0，则它们的公共弦长为 .

10、若直线y??x?b与曲线x??1?y2恰有一个公共点，则b的取值范围是__________.

三、解答题

11、由点A(?3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，若反射光线所在直线与圆x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光线l所在直线的方程．

22

12、已知圆上的点A(2,?3)关于直线x?2y?0的对称点仍在这个圆上，且与直线

x?y?1?0相交的弦长为22，求圆的方程．

13、已知C：（x－1）2＋(y－2)2=25，直线l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0(m∈R)．

（1） 求证：不论m取什么实数时，直线l与圆恒交于两点； （2） 求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及这时直线l的方程．

14、曲线x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q满足：

（1） 关于直线kx－y＋4＝0对称，（2）OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

课时作业（二）解析：

1、B 2、D 3、C 4、A 5、D 6、5?2 7、3 8、-13或-3. 9、230. 10、?2???1,1? 11、解：已知圆(x?2)?(y?2)?1关于x轴的对称圆方程为(x?2)?(y?2)?1，设光线l2222??的方程是y?3?k(x?3)，由题意，该直线与对称圆相切 ∴

5k?51?k2?1 解得：

34直线的方程是3x?4y?3?0或4x?3y?3?0. k??,或k?? ∴

4322212、解：设圆心为(?2a,a)，由题意得：(?2a?2)?(a?3)?(2)?(|?3a?1|2)2，解得a??3或a??7，此时r?52或r?244 ∴所求圆的方程为(x?6)2?(y?3)2?52或

(x?14)2?(y?7)2?244.

13、解：（1）将l的方程整理为（x＋y－4）＋m（2x＋y－7）＝0． 因为对于任意实数m，方程

?x?y?4?0,都成立， 所以?

2x?y?7?0.?

?x?3, ?y?1.?所以对于任意实数m，直线l恒过定点P（3，

1），又圆心C（1，2），r＝5，而｜PC｜＝5 ＜5，即｜PC｜＜r，所以P点在圆内，即证．

（2）l被圆截得弦最短时，l⊥PC． 因为kpc＝

12?1＝－2 ，所以kl＝2，所以l的方程为2x－y－5＝0为所求，此时，最短的弦长为1?3 2 25－5 ＝45 .

1

14、解：由①得 直线kx－y+4＝0过圆心，∴k＝2 kPQ＝－2 ，故设直线PQ的方程为

1522

y＝－2 x+b，与圆方程联立消去y得4 x+(4－b)x+b－6b+3＝0 设 P(x1 , y1), Q(x2 , y2)，由于OP⊥OQ ∴x1x2＋y1 y2＝0

1135

即x1x2＋（－2 x1+b）(－2 x2+b)＝0 结合韦达定理可得b＝2 或b＝4 1315

从而直线PQ的方程为y＝－2 x+2 或y＝－2 x+4