中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似试题

18.(2016眉山中考)已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)、B(3，－2)、C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；

(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．

解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标(－2，－2)．

19．(2015连云港中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.

(1)求BD·cos∠HBD的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．

ACBC

解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∠A＝∠HDC，∴△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴CH＝1，BH＝BC

CDCHBH

＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC

BDBCABABAC33DH

∽△BHD，∴＝，∵△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴AB＝3DH，∴＝，解得DH＝2，∴AB＝3DH＝3×2＝

HDBHDHCDDH46，即AB的长是6.

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进．小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm.

请问：它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？

BPBQ

解：设它们同时出发了t s时△PBQ与△ABC相似，BP＝10－t，BQ＝2t.(1)∵∠B＝∠B，∴当＝时，△BABC

10－t2tBPBQ10－t2t

PBQ∽△ABC，∴＝，t＝5；(2)∵∠B＝∠B，∴当＝时，△PBQ∽△CBA，∴＝，t＝2.综上，

1020BCBA2010它们同时出发了2 s或5 s时，△PBQ与△ABC相似．

21．(2016眉山中考)如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.

PCCE

(1)求证：＝；

CDCB

(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

解：(1)∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴

PCECPCEC

＝；(2)AC∥BD，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵＝，∴DCCBDCCB

△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD；(3)如图所示，作PM⊥BDECPE4

于M，∵AC＝42，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，∵△PCE∽△DCB，∴＝，即＝

CBBD42x4＋x1

，∴BD＝2x，∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，BP＝BE＋PE＝4＋x，∴PM＝，∴△PBD的面积S＝BD·PMBD2214＋x12＝×2x×＝x＋2x. 222