第2章2.3.1知能优化训练

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )

1

A．y＝x3

5

B．y＝x2 2

1－

C．y＝x3 2

D．y＝x3

32解析：选D.y＝x3＝x，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．

11α2．如图，图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的大致图象．已知α取－2，－，，2

22

四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )

1111

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2

22221111C．－，－2,2， D．2，，－2，－

2222

解析：选B.当x＝2时，2＞22＞22＞2， 即C1：y＝x，C2：y＝x2，C3：y＝x2，C4：y＝x.

3．以下关于函数y＝x当α＝0时的图象的说法正确的是( ) A．一条直线 B．一条射线

C．除点(0,1)以外的一条直线 D．以上皆错

0

解析：选C.∵y＝x，可知x≠0，

0

∴y＝x的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．

10

4．函数f(x)＝(1－x)＋(1－x)的定义域为________．

2

??1－x≠0解析：?

?1－x≥0?

α2

1

1

－

－2

2

1

1－

－2

，∴x<1.

答案：(－∞，1)

1．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，A．16 1C. 2

2

)，则f(4)的值为( ) 21B. 16D．2

解析：选C.设f(x)＝x，则有2＝1

即f(x)＝x2，所以f(4)＝42＝.

2

1－

－1

nn21，解得n＝－， 22

2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是( )

2

3

A．y＝x3 C．y＝x3

2

1

－B．y＝x2 D．y＝x4 3

23

31－

3－

解析：选D.A.y＝x3＝x，x∈R；B.y＝x2＝x，x≥0；C.y＝x3＝

3－

13

，x≠0；D.y＝

xx4＝

14

，x＞0.

2

x3

3．已知幂函数的图象y＝xm－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，则m为( )

A．－1或1 B．－1,1或3 C．1或3 D．3

2

解析：选B.因为图象与x轴、y轴均无交点，所以m－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图象

2

关于y轴对称，且m∈Z，所以m－2m－3是偶数，∴m＝－1,1,3.故选B.

4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限

α②α＝0时，幂函数y＝x的图象过点(1,1)和(0,0)

α③幂函数y＝x，当α≥0时是增函数

α④幂函数y＝x，当α<0时，在第一象限内，随x的增大而减小 A．①② B．③④ C．②③ D．①④

α2

解析：选D.y＝x，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y＝x在(－∞，0)上为减函数，①④正确．

3220

5．在函数y＝2x，y＝x，y＝x＋x，y＝x中，幂函数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

20

解析：选B.y＝x与y＝x是幂函数．

α6．幂函数f(x)＝x满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件( ) A．α＞1 B．0＜α＜1 C．α＞0 D．α＞0且α≠1

α解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝x为增函数，且α＞1. 7．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________．

1

1αα解析：设f(x)＝x，则有3＝3＝32?α＝.

2

1

答案：f(x)＝x2

8．设x∈(0,1)时，y＝x(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知p<1. 答案：p<1

p

xα9．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝a与幂函数g(x)＝x“拼接”而

aαaα成，则a、a、α、α按由小到大的顺序排列为________．

解析：依题意得

???1???4?a4＝a1

1

2

α1＝2

????1

α＝.??2

αaa＝，

116

111411113211111181αaα所以a＝()16＝[()]16，a＝()2＝[()]16，α＝()16，α＝()2＝[()]16，由162162222幂函数单调递增知a＜α＜a＜α. ααaa答案：a＜α＜a＜α

2m－1

10．函数f(x)＝(m－m－5)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．

2

解：根据幂函数的定义得：m－m－5＝1， 解得m＝3或m＝－2，

2

当m＝3时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数；

－3

当m＝－2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.

2m2＋m－1

11．已知函数f(x)＝(m＋2m)·x，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？

解：(1)若f(x)为正比例函数，

2??m＋m－1＝1则?2?m＝1. ?m＋2m≠0?

(2)若f(x)为反比例函数，

2??m＋m－1＝－1则?2?m＝－1. ?m＋2m≠0?

(3)若f(x)为二次函数，

2??m＋m－1＝2－1±13则?2?m＝.

2?m＋2m≠0?

αa

(4)若f(x)为幂函数，则m＋2m＝1，

∴m＝－1±2.

m2－2m－3

12．已知幂函数y＝x(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．

2

解：由已知，得m－2m－3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.

－3

当m＝0或m＝2时，y＝x为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意．

0

∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x，其图象如图(1)．

－4

当m＝1时，y＝x，其图象如图(2)．

2