(完整word版)2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)(2)

. . . .

∴，即3a2=b2，

∵a2+b2=c2，

∴4a2=c2，即c=2a，

∴离心率e==2． 故选C．

18．解：∵y=f（x+1）为偶函数， ∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称， ∴y=f（x）的图象关于x=1对称， ∴f（2）=f（0）， 又∵f（2）=1， ∴f（0）=1；

设（x∈R），

则

，

又∵f′（x）＜f（x），

∴f′（x）﹣f（x）＜0， ∴g′（x）＜0，

∴y=g（x）单调递减， ∵f（x）＜ex，

∴，

即g（x）＜1，

又∵

，

∴g（x）＜g（0）， ∴x＞0，

可编辑

故答案为：（0，+∞）．

19．解：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣1）， 则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x， ∵f′（x）＜x，

∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0， 即函数g（x）为减函数，

且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0，

即不等式f（x）＜x2﹣1等价为g（x）＜0， 即等价为g（x）＜g（2）， 解得x＞2，

故不等式的解集为{x|x＞2}． 故选：D． 20．解：由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5≥1得x2﹣x﹣6≥0，得x≥3或x≤﹣2，此时f（x）=4+x，由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5＜1得x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3，此时f（x）=x2﹣1，

即f（x）=

，

若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，

即y=f（x）﹣k=0，即k=f（x）有三个不同的根， 作出函数f（x）与y=k的图象如图： 当k=2时，两个函数有三个交点， 当k=﹣1时，两个函数有两个交点，

故若函数f（x）与y=k有三个不同的交点， 则﹣1＜k≤2，

即实数k的取值范围是（﹣1，2]， 故选：A

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21．解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞ex+3， ∴g（x）＞3，

又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0 故选：A．

22．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，

使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值． 对于①，根据题意，在区间[a，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x）=3， 满足f（b）﹣f（a）=f′（x）（b﹣a），∴①正确；

对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确； 对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；

可编辑

对于④，∵f′（x）=3（x﹣）2，且f（1）﹣f（0）=，1﹣0=1； ∴3（x﹣）2×1=，解得x=±∈[0，1]， ∴存在两个“中值点”，④正确．故选：A

23．解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣，其导数g′（x）=f′（x）﹣＞0， 则函数g（x）在R上为增函数，

又由f（1）=1，则g（1）=f（1）﹣=，

不等式f（x2）＜

?f（x2）﹣＜?g（x2）＜g（1），

又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，

解可得：﹣1＜x＜1，

即不等式的解集为（﹣1，1）； 故选：D．

24．解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点

的距离为π， 故函数的周期为

=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．

若f（x）＞1对?x∈（﹣

，

）恒成立，即当x∈（﹣

，

）时，sin（2x+φ）＞0恒

成立，

故有2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，

结合所给的选项， 故选：D．

25．解：∵x?y=x（1﹣y），

∴（x﹣a）?x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2， ∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2， a（x﹣2）≤x2﹣x+2，

∵任意x＞2，不等式（x﹣a）?x≤a+2都成立，

. . . .

∴a≤

．

令f（x）=，x＞2，

则a≤[f（x）]min，x＞2

而f（x）==

=（x﹣2）+

+3

≥2+3=7，

当且仅当x=4时，取最小值． ∴a≤7． 故选：C．

26．解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，

∵当x∈[﹣2，0]时，=2﹣2﹣x， ∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]， ∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）=2﹣2x=f（x）， 即f（x）=2﹣2x，x∈[0，2]，

由f（x）﹣loga（x+2）=0得f（x）=loga（x+2）， 作出函数f（x）的图象如图：

当a＞1时，要使方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根， 则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点，

则满足，即，

解得：

＜a＜

故a的取值范围是（，），

可编辑

故选：C．

二．填空题（共6小题）

27．解：函数f（x）=xex﹣ae2x 可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2个极值点， 则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根， 令g（x）=x+1﹣2aex，g′（x）=1﹣2aex；

（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍， （ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，

当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，x＞ln

时，g′（x）＜0，g（x）在（ln

，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，

∴g（x）max=g（ln）=ln

+1﹣2a?

=ln

＞0，

∴

＞1，即0＜a＜；

故答案为：（0，）． 28．解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 则

，

，

. . . .

y1=1，y2=5，则，

φ（A，B）=，（1）错误；

对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；

对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x， 则kA﹣kB=2x1﹣2x2，=

=

．

∴φ（A，B）=

=

，（3）正确；

对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．

t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）

错误．

故答案为：（2）（3）．

29．解：∵数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且．

∴，

∴

，由a1＞0，解得a1=1，

=3a2，由a2＞0，解得a2=3，

∴公差d=a2﹣a1=2，

an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

可编辑

∵不等式

对任意n∈N*恒成立， ∴

对任意n∈N*恒成立，

∴==≥2+17=25．

当且仅当2n=，即n=2时，取等号，

∴实数λ的最大值为25． 故答案为：25．

30．解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=，d′=

，

根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=

．

∴S△OBC=?OB?OC?sin∠BOC=×1×1×sin120°=

，

∴S1=

②．

∴=，=

∴k=±

，m=1

故答案为：±

．

31．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．

对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；

对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确； 对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确； 对于④，根据对称性，函数

在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．