高中物理竞赛教程（超详细修订版）电场及电磁感应 - 图文

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第三讲 磁场

§3.1 基本磁现象

由于自然界中有磁石(Fe3O4)存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N表示)；指南的一端称南极(S表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极位于地理北极附近。 1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用??，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。 一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。 §3.2 磁感应强度 3．2．1、磁感应强度、毕奥?萨伐尔定律 将一个长L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力Fm和IL的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。

真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间 r ?各点的B也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的B要运用一个称为 ? 毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元I?L(如 ??图3-2-1 图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为r的P点所产生的磁场的磁感强度?B ?L sin ? I K ??2 r ?为顺着电流I?L的方向与r方向的夹角，?B的大小为，?方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在I?L的方向上，顺着小于?的角转向r方向时大拇指??7方向即为?B的方向。式中K为一常数，K=10韦伯/安培?米。载流回路是由许多个I?L组成的，求出每个?I?L在P点的?B后矢量求和，就得到了整个载流回路在P???I?l 点的B。 ??B? ?B ?0? K??7r ?1R ??4??10 ? 4?0如果令，特斯拉?米?安， ? 那么?B又可写为 ? P I ?B// O x ?I?Lsin? ?B?024?r ?0称为真空的磁导率。 图3－2－2 下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R，载电流为I的圆电流轴线上，距圆心O为?的一点的磁感应强度

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?0I?lsin90??0I?l????B??224?4?r，r在圆环上选一I?l，它在P点产生的磁感应强度其方向垂直于I?l和r所

?确定的平面，将B分解到沿OP方向?B//和垂直于OP方向?B?，环上所有电流元在P点产生的?B?的和为零，

?B//??B,sin??B=?0I?lR?24?rr

?0RI?0RI?l??2?R334?r4?r（??l?2?R线性一元叠加） ??B//???0R2I?2(?2?R2)3/2 在圆心处，??0，B??3．2．2、 由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度B ?0I2R (1)无限长载流直导线 为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。 长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r处的磁感强度 I ?IIB?0B?Kr 2?r 或 ?7?7?1式中?0称为真空中的磁导率，大小为4??10T/m。K?2?10T?m (2)无限长圆柱体 无限长载流直导线 为R，均匀载有电流，其电流密度为j的无限长圆柱体 当r＜R，即圆柱体内 图3-2-3 B??I2?r r为所求点到直导线的垂直距离。半径0 B??j02r??rI2?R 02?0?R2j?0IB??2?r2?r 当r＞R，即圆柱体外 图3-2-4 (3)长直通电螺线管内磁场 长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示

B内??0nI n为螺线管单位长度的匝数 (4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。 3．2．3、磁感应线和磁通量 为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点： I ?第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度B的方向；第二，??通过垂直于B的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度B的大小。

图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到

I (a) (b)

图3-2-5

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负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。

磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置，电流的大小Ia?I，Ib?2I(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a、b连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度Ba和Bb的方向都不在一直线 上，不可能互相抵消；在a、b连线上，a左边或b右边的位置上，Ba和Bb的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上，Ba和Bb才有可能互相抵消，设离a距离为?的P处合磁感应强度为零(图3-2-6) I2Ik??k??0?B?BA?BB(矢量式)=?r?? I2Irk??k????r??，3 通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，1韦伯=1特斯拉?1米。图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面S0的磁通量为??BS0；而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为： （a） （b） 图2-3-7 2?(?角即是两个平面S和S0的夹角，也是S面的法线与B的夹角)。 ??BScos? 而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元?Si的磁通量求出后求和，即： ???Bicos?i?Si 3．2．4、磁场中的高斯定理 考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N极或S极存在。 3．2．5、典型例题 例1：图3-2-8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度I1和I2的电流，试确定磁场为零的区域。 y 分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限Ⅰ Ⅱ 内。

解：设P(x、y)点合磁感强度为零，即有 x Ⅳ I2I1I2y?xk?k?0I1 这就是过原点的直线xy得 Ⅲ 图3-2-8 方程，其斜率为I2/I1。

例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接

起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。

分析：磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。

解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻?，如图3-2-10所示，则二段圆环电流

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O A I B

I 图3-2-9

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I1?UUI2??R?(2???)R??

?B?kI??lR，所以：

磁感强度B可以是圆环每小段?l部分磁场?B的叠加，在圆心处，?B可表达为

I1l1I?k1?R??kI1?RR IllB2?k22?k2?(2???)?R?kI2(2???)RR 因 I1?R??I2(2???)R?故B1?B2，即两部分在圆心处产生磁场的B1?k磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。 I2 2??? R A ? I1 B §3.3 磁场对载流导体的作用 3．3．1、安培力 一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长L，电流强度为I，磁场的磁?B 图3-2-10 F?BIL?sin?电流方向与磁场 感应强度为B，电流I和磁感强度B间的夹角为?，那么该导线受到的安培力为???方向平行时，??0，或??180，F=0，电流方向与磁场方向垂直时，??90，安培力最大，F=BIL。

安培力方向由左手定则判断，它一定垂直于B、L所决定的平面。 当一段导电导线是任意弯曲的曲线时，如图3-3-1所示可以用连接Ｑ Ｉ 导线两端的直线段的长度l作为弯曲导线的等效长度，那么弯曲导线缩手的安培力为 F?BILsin? 3．3．2、安培的定义 如图3-3-2所示，两相距为a的平行长直导线分别载有电流I1和I2。 载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为 方向如图示。 导线2上长为?L2的线段所受的安培力为： ??F2?I2?L2B21sin2 ?III2?L2B21?012?L22?a= Ｐ l ? 图3-3-1 B

B21??0I12?a，B12 1 2 a ?F2 ?F 1 I1 I2 B21 图3-3-2 其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1，导线2单位长度上所受的力 ?F2?0I1I2??L22?a

?F1?0I1I2?2?a。方向垂直指向2，两条导线间是吸引力。也可同理可证，导线?上单位长度导线所受力也为?L1证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。

国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为2?10牛顿时，各导线上的电流的电流强度为1安培。

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