生活中的概率问题1

分析：假定不考虑英文写作所占的15分，那么按及格成绩60分计算，85道选择题必须答对

1351道题以上。如果单靠碰运气、瞎猜测的话，则每道题答对的概率为，答错的概率是。

44显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答85道选择题看成85重贝努利试验。

设随机变量?表示答对的题数，则?服从参数n?85，p?0.25的二项分布，其分布律为

kkp(1?p)n?k k ?0,1,?2,,n P(??k)?Cn若要及格，必须??51，其概率为

P(??51)?kkn?k?12。 C0.25(1?0.25)?8.74?10?n85k?51这个概率非常小，因此可以认为，想靠碰运气通过四级考试几乎是一个不可能发生的事

件，它相当于在一千亿个想碰运气的考生中，仅有0.874人能通过四级考试。

几何概型

在奖品的诱惑面前要冷静

在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？

利用几何概率可以解释这个问题。由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为

??2CD2?2??0.08 P(A)?圆周长250即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08。由于每次转动可看成相互独立的随机事件，设Ai={指针与阴影连续重合i次}，则

4 P(A1)?0.08， P(A2)?0.082?0.006，2 P(A4)?0.084?0.000040。96 P(A3)?0.083?0.00051，

可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。所以，这是一个骗人的把戏。 知识点：

几何概型的定义

设随机试验的样本空间是某一个区域G，G的测度（或长度，或面积，或体积）为D，并设随机点等可能地落入G中的任意点。即

S中的任意一个小区域A的可能性仅与

A的测度成正比，与A在G中的位置及形状无关.记“点落入小区域A”这个随机事件记为

P(A)，则

P(A)?区域A的测度区域G的测度。

这一类概率通常称为几何概率.

概率为零的事件不一定是不可能事件

不可能事件的概率一定为零，即若A??，则P(A)?0。但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若P(A)?0，则不一定有A??。

例如，在几何概率中，设??{(x,y):x2?y2?4}，A?{(x,y):x2?y2?1}。?为圆域，而A为其中一圆周。则

P(A)?A的面积0??0。

?的面积4?显然，A是可能发生的，即若向?内随机投点，点落在圆周x2?y2?1上的情况是可能发生的。

又如，对于连续型随机变量?，有P(??a)?0，但{??a}是可能发生的，即?可以取到值a。

仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下，若P(A)?0，则A??。

“犯人”的机智

有一个古老的传说，一个绅士因看不惯王爷的所作所为而得罪了他，并被关进了监狱，众人替他求情，王爷就给他出了个难题：给他两个碗，一个碗里装50个小黑球，另一个碗里装50个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，要他先选择一个碗，并从这个碗里拿出一个球。如果他拿的是黑球，就要继续关在监狱；如果他拿的是白球，就将获得自由。但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望的任何方式把球进行混合。这个绅士两眼直盯着两个碗，因为关系到

他今后的人生和众人的情意，他不得不慎重考虑。王爷说：“这就要看你的造化了，你挑一个碗并从里面拿出一个白球的几率是50%。”

绅士紧皱眉头，“天无绝人之路”，灵机一动，只见他把所有的球都混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，对王爷说：“现在我获得自由的几率为75%。”

149的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概率为，如果他选了另一个碗，他还能以

299111493（接近）的概率从碗里拿出一个白球，这样他获得自由的机会提高到???。

2229941但他并不因此而满足，因为他仍有的几率选到黑球。怎样才能把获释的机会再扩大一

4点呢？耍小聪明的时候到了，思维犹如奔驰的野马，“允许我用‘任何’方式把球混合”，急中生智，突然，他大叫一声：“这一下，我有救了。”只见他把白球覆盖在黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，这样他获释的机会为100%了。王爷大叫一声：“好，君无戏言，立刻放人。”

这个故事的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球覆盖在黑球上，那是运用智谋。

全概率公式：设B1,B2,?是一一事件A，有P(A)=?P(Bi)P(ABi)。

i?1??Bi??， P(B)?0，则对任

i?i?1 可见，概率正是生命的指引。概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为”。

赌注押在哪？

17世纪末，法国的Chevalies De Mere注意到在赌博中一对骰子抛25次，把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”有利。但他本人找不出原因，后来请当时著名的法国数学家Pascal才解决了这一问题。这问题应如何解决呢？

解：题中一对骰子抛25次，是指2颗同样的骰子同时抛掷，共抛25次。“至少出现一次双六”是指抛25次中至少出现一次数对(6,6)（记为事件B），“完全不出现双六” 是指抛25次出现的数对完全没有(6,6)，它是B的对立事件B。因此，题中把赌注押到“至少出现一次双六”比押到“完全不出现双六”有利的意思，即为P(B)?P(B)。因为P(B)?P(B)?1，故只要证明P(B)?1。 2 一对骰子抛1次有36种情况，其中只有1种是(6,6)。因此一对骰子抛1次出现双6的概率为

1。 36设Ai={第i次抛掷时出现对(6,6)}(i?1,2,?6)，则有

135，P(Ai)? 3636一对骰子抛1次，可视为1次随机试验，一对骰子抛25次可视为25重独立贝努利试验。

P(Ai)?

B??Ai

i?125 P(B)?P(?Ai)?1?P(A1A2?A25)?1?P(A1)P(A2)?P(A25)

i?12535251)?0.5045?。 362注：进一步讨论投掷次数对结论的影响也是很有趣的，值得考虑一下的是为什么正好掷25次呢？掷的次数少了或多了会怎样呢？这只要在上面的不等式中把25换成n，看会出现什么结果，要决定n，使

?1?( P(B)?P(?Ai)?i?1n1 2即 P(B)?P(?Ai)?1?P(A1A2?An)?1?P(A1)P(A2)?P(An)

i?12535n1)? 362解之得 n?24.67

?1?(故要使P(B)?P(B)，抛掷25次是起码的要求，少于25次不行。当然抛掷的次数超过25次越多，对事件“至少出现一次双六”的发生越有利，且

35?? lim?1?()n??1

n??36??

奖金如何分配才算公平

问题 在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定：谁先胜3盘，谁获得全部奖金。

设甲、乙二人的球技相当，现已打了3盘，甲2胜1负，由于某特殊原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平？

分析：方案一：平均分，这对甲欠公平。方案二：全部归甲，这对乙不公平。方案三：按已

21胜盘数的比例对甲、乙进行分配。方案三看似合理，双方可以接受的方法，即甲拿，乙拿。

33仔细分析，发现这也并不合理。理由如下：设想继续比赛，要使甲、乙有一个胜3盘，只要再比2盘即可，结果无非是以下四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙

其中“甲乙”表示第4盘甲胜、第5盘乙胜，其余类推。把乙比赛过的3盘与上述四种结果结合，即甲乙打完5盘，可以看出前3个结果都是甲先胜3盘，因而甲可得1000元，只有最后一个结果才由乙得1000元。在球技相当的条件下，上述四个结果应有等可能性。因此，方案四是因为甲乙最终获胜可能性的大小这比为3：1，所以全部奖金应按制胜率的比例分，即甲分750元，乙分250元，才算公平合理。