北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系

【知识要点】

一、锐角三角函数：

正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA?．．

a; ba正弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA?; ．．．cb; cb余切：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA?;

c余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA?注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系

tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 sinA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，sinA的值越大。 cosA的值越小，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，cosA的值越大。 2、三角函数之间的关系

（1）互为余角的函数之间的关系 若∠A为锐角，则

①sinA?cos(90???A)；

sinα cosα tanα cotα 0o 0 1 0 — 30 o 1 245 o 60 o 90 o 1 0 — 0 cosA?sin(90???A) 90???A)； ②tanA?cot(cotA?tan(90???A)

（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA＋cosA＝1 2)倒数关系：tanA·cotA＝1

2

2

3 23 32 22 21 1 3 21 23 3 33 ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°sinAcosA

3)商的关系：tanA＝，cotA＝

间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小）而增大(或减cosAsinA

小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 二、解直角三角形：

※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

222

(1)三边之间的关系：a+b=c；

(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；◎解直角三角形的几种基本类型列表如下： (3)边与角之间的关系：

sinA?

a,cb,cbcosA?,ccosB?a,ctanA?a,bb,abcotA?;acotB?a;bsinB?

tanB?11ab?chc(hc为C边上的高); 22a?b?c(5)直角三角形的内切圆半径r?

21(6)直角三角形的外接圆半径R?c

2(4)面积公式:S??

三、解直角三角形的应用：

1、当从低处测高处的目标时，视线与水平线所成

观的锐角称为仰角 ．．

当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 ．．

2、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，．．．．即i?图1

h?tanA l◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为．．．45°、135°、225°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方．．．向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

B

i=h:l

h

A C 图3 l 图4

图2

【基础训练】

锐角三角函数定义

一、填空题

1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则

△B'AC′∽______，从而

B?C?AB?()，又可得 ??BC()AC①

B?C??______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个?AB______值； ②

AC??______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个AB?B?C??______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______AC?与______的比还是一个______．

______； ③

第1题图

2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

第2题图

()()①sinA?＝______， ＝______； sinB?斜边斜边②cosA?③tanA?(斜边)＝______， cosB?()＝______，

?A的邻边＝______；

斜边?B的对边＝______． tanB?()()3．因为对于锐角??的每一个确定的值，sin??、cos??、tan??分别都有____________与它______，所以

sin??、cos??、tan??都是____________．又称为??的____________． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

二、解答题

8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3． 求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

9．已知Rt△ABC中，?C?90?,tanA?34,BC?12,求AC、AB和cosB．

综合、运用、诊断

10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．

11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，sinA?13? (1)求AB边上的高CD； (2)求△ABC的面积S； (3)求tanB．