复旦高等数学答案

?bc?2

hsin?s0h ?s0h ?hcot? ? ? s0h

2?cos?sin? h??

2?cos40sin40 ? h

【篇二：高等数学复旦大学版黄立宏修订版习题二答案

详解】

ass=txt>详解

1． 设s?ds12gt，求dt2. t?2 解：dsds?2g. ?gt，故dtt?2dt 2．(1) 设f(x)?1，求f?(x0)x

0(x0?0); 解：f?(x0)?f?(x)x?x??1. 2x0

(2) 设f(x)?x(x?1)(x?2)???(x?n),求f?(0). 解：

f?(0)?limf(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)???(x?n)x?0x?0 x?0 ?(?1)nn!

23. 试求过点(3，8)且与曲线y?x相切的直线方程.

解：曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为k?2x.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：

?y?8?2x(x?3)y?8?2x(x?3)，且与曲线的交点可由方程组解得? 2?y?x

为(2，4)，(4，16)即为切点.

故切线方程为：y?4?4(x?2),y?16?8(x?4).

4．下列各题中均假定f?(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出a表示什么. f(x0??x)?f(x0)?a; ?x?0?x

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??lim??f?(x0) 解：?lim?x?0?x?0?x??x(1) lim

故a??f?(x0) (2) f(x0)?0,limx?x0f(x)?a; x0?x 解：limf(x) x??limf(x)

x?x??f?(00?xx?xxx 00) 0?x

故a??f?(x0) (3) limf(x0?h)?f(x0?h) h?0h?a. 解：

limf(x0?h)?f(x0?h)?f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)? h?0h?limh?0??h?h??

?limf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0) h?0h?limh?0?h

?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) 故a?2f?(x0).

5．求下列函数的导数: (1) y?; 解：y??

(2) y????2?5 解：y3x3 (3) y?1

解：y?x2?25 3?2?x6 ??1 6x?5 y6. 6

．讨论函数y在x?0点处的连续性和可导性. 解：x?00?f(0),故函数在x?0处连续. 又lim0?2

x?0x?0?limx?0x3??,故函数在x?0处不可导.

7. 如果f(x)为偶函数，且f?(0)存在，证明：f?(0)?0. 证明：

f?(0)??limf(?x)?f(0)x?0?x??limf(??x)?f(0)x?0?x ???limf(??x)?f(0)x?0??x??f?(0), 故f?(0)?0.

8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导.

(1) y???sinx,x?0,

?x3,x?0,x0?0; 证明：ff(x)?f(0)

??(0)?xlim?0?x?0?xlimsinx?0?x?1, ff(x)?f(0)x3

??(0)?limx?0?x?0?xlim?0?x?0,

因f??(0)?f??(0)，故函数在x0?0处不可导. ? (2) y??x

?1?e1,x?0,x ?0?0; ?0,x?0, 证明：ff(x)?f(0)

??(0)?xlim?0?x?0?lim1 x?0?1?e1?0, ff(x)?f(0) ??(0)?limx?0?x?0?lim1

x?0?1?e1?1, 因f??(0)?f??(0)，故函数在x0?0处不可导. (3) y?x?1,

??x2,x?1,x0?1. 证明：ff(x)?f(1)

??(1)?limx?1?x?1?lim1 x?1?x?1?1 2,

?limf(x)?f(1)x2 f?1

??(1)x?1?x?1?limx?1?x?1?2,

因f??(1)?f??(1)，故函数在x0?1处不可导. 9．已知f(x)???sinx, ?x,x?0,求f?(x). x?0,

解：当x?0时，f?(x)?cosx, 当x?0时，f?(x)?1,

sinx?0x?0当x?0时，f??(0)?limx?0?x?0?1, f??(0)?x?l0?ix?0? 1,

故f?(0)?1.

综上所述知f?(x)???cosx,x?0, ?1,x?0.

10．设函数f(x)???x2,x?1, ?ax?b,x?1.

为了使函数f(x)在x?1点处连续且可导，a,b应取什么值？ 解：因lim2

x?1?f(x)?limx?1?x?1?f(1)

xlim?1?f(x)?lim(x?1?ax?b)?a?b

要使f(x)在x?1处连续，则有a?b?1, 又ff(x)?f(1)x2 ??(1)?limx?1?x?1?lim?1 x?1?x?1?2,

f??(1)?limax?b?1ax x?1?x?1?lim?a x?1?x?1?a,

要使f(x)在x?1处可导，则必须f??(1)?f??(1)，

即a?2.故当a?2,b??1时，f(x)在x?1处连续且可导.

11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) y?sinx,x?0; 解：因为limx?0y?0?yx?0,所以此函数在x?0处连续. 又ff(x)?f(0) ??(0)?limx?0?x?0?lim?sinx x?0?x??1, ff(x)?f(0)sinx

??(0)?xlim?0?x?0?xlim?0?x?1,

f??(0)?f??(0)，故此函数在x?0处不可导. 1?2xsin,x?0,?(2) y?? x?0; x?x?0,?0, 1?0?y(0),故函数在x?0处连续. x?0x

1x2sinf(x)?f(0)?0, 又y?(0)?lim?limx?0x?0x?0x 故函数在x?0处可导. 解：因为limxsin2 (3) y??x?1,?x,x?1. 2?x,x?1,? limf(x)?lim(2?x)?1?x?1

x?1解：因为 x?1?x?1?limf(x)?limx?1?

x?1 x?1?limf(x)?limf(x)?f(1)?1,故函数在x=1处连续. ? 又f??(1)?lim?f(x)?f(1)x?1?lim?1 x?1x?1?x?1x?1 f(x)?f(1)2?x?1f??(1)?lim?lim??1 ?x?1?x?1x?1x?1 f??(1)?f??(1)，故函数在x=1处不可导.

12. 证明：双曲线xy?a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a.

证明：在双曲线上任取一点m(x0,y0), 22 a2a2

则y?,y???2,y?xxx?0a2??2， x0 a2

则过m点的切线方程为：y?y0??2(x?x0) x0 2x0y0x0a2

令y?0?x?2?x0?2?x0?2x0 aa

得切线与x轴的交点为(2x0,0)， xya2 令x?0?y??y0?00?y0?2y0 x0x0 得切线与y轴的交点为(0,2y0)，

【篇三：高等数学复旦大学出版社习题答案三】