地下水运动中的专门问题

（6-30）

把它代入(6-28)式可得：

（6-31）

把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水头Hf的方程：

（6-32） 上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。 在二维情况下可简化为：

（6-33）

式中Txx、Tyy为裂隙的主导水系数(分别与x, y轴平行)。?,?为裂隙和岩块的贮水系数。

把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：

f*ff（ 二维情况下为

从前面的讨论中不难发现，它表示：

）

因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层(二维情况下为单位面积的柱体)中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量，抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。和潜水Boulton方程比较，不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。但前音有明确的物理含意。

延迟弹性释水项中包含一个新的参数——承压水迁移系数?。根据定义，其中比例常数C是反映孔隙和裂隙之间水量交换特征的参数，与孔隙的渗透系数K及多孔岩块的几何特征有关。T．D．Streltsova(1976)认为，C＝K/L，L为岩块的特征长度，用岩块的平均大小或岩块中心到它表面的平均距离来表示。所以?值取决于K，L，?s等，它是反映孔隙、裂隙发育情况及其连通程度的特征量。?越小，从孔隙向裂隙运移的水量越少，延迟时间越长；反之，?越大，从孔隙向裂隙运穆的水量越多，延迟的时间越短。

对无压含水层，相应近似的裂隙水流基本方程，在二维情况下为：

（6-34）

9

??式中，

延迟弹性释水量与延迟重力排水量之和。

对于完整抽水井，如果含水层是均质、等厚的承压含水层，抽水前，所有裂隙和孔隙中的静水压力相等，以定流量抽水，则有：

Ch?*??，称为水迁移系数，h为含水层厚度。方程右端第二项的物理含意为

（6-35）

式中，sf为裂隙中的降深，此时有定解条件：

s (r，0)=0

s (∞，t)=0 t > 0

limrr?0?sf?r??Q2?Tf t > 0

思考题：

1. 双重介质渗流学说为什么要假设一个点有两个水位?在钻孔中测出的水位代表什么水位?

2．边界条件(76-38)改写成r?0

limr?sQ???r2?T，可以吗?

§6.3 水动力弥散理论

随着近年来地下水遭到不同程度的污染，地下水中溶质运移理论愈来愈引起人们的关注，它不仅可以用来模拟地下水中污染物的运移过程，预测地下水污染的发展趋势，控制地下水污染，还可以用于防止海水入侵及土壤盐碱化等方面。 6.3.1水动力弥散现象及其机理

先考察一个实例。通过它们可以大致了解水动力弥散现象是怎么回事。

例：若在一口井中瞬时注入某种浓度的一种示踪剂，则在附近观测孔中可以观察到示踪剂不仅随地下水流一起位移，而且逐渐扩散开来，超出了仅按平均实际流速所预期到达的范围，并有垂直于水流方向的横向扩散，不存在突变的界面。

上述事实说明，存在一种特殊的现象。因为如果不存在这种现象，示踪剂应按水流的平均流速移动；含示踪剂和不含示踪刑的水的接触界面应该是突变的；示踪剂也不应公横向扩展开来，即有一个以实际平均流速移动的直立锋面。以上事实说明，在两种成分不同的可以混溶的液体之间存在着一个不断加宽的过渡带。这种现象称为水动力弥散。因此，所谓水动力弥散就是多孔介质中所观察到的两种成分不同的可混溶液体之间过渡带的形成和演化过程。

这是一个不稳定的不可逆转的过程。水动力弥散是由溶质在多孔介质中的机械弥散和分子扩散所引起的。兹分述如下。

（1）机械弥散

在多孔介质中，无论液体运动速度的大小还是方向，都是很不均一的。这主要和下列情况有关：由于液体有粘滞性以及结合水对重力水的摩擦阻力，使得最靠近隙壁部分的(重力)水流速度趋近于零，向轴部流速逐渐增大，至轴部最大，孔隙的大小不一，造成不同孔隙间

10

轴部最大流速有差异，孔隙本身弯弯曲曲，水流方向也随之不断改变，因此对水流平均方向而言，具体流线的位置在空间是摆动的。这几种现象是同时发生的，由此造成开始时彼此靠近的示踪剂质点群在流动过程中不是一律按平均流速运动，而是不断向周围扩展，超出按平均流速所预期的扩展范围。沿平均速度方向和垂直它的方向上，都可以看到这种扩展现象。液体通过多孔介质流动时，由于速度不均一所造成的这种物质运移现象称为机械弥散。

（2）分子扩散

分子扩散是由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起的一种物质运移现象。浓度梯度使得物质从浓度高的地方向浓度低的地方运移，以求浓度趋向均一。因此，即使在静止液体中也会发生分子扩散，使示踪剂扩散到越来越大的范围。分子扩散使同一流束内的浓度趋于均一，而且相邻流束间在浓度梯度的作用下也有物质交换，导致横向浓度差的减小。

物理学的知识告诉我们，分子扩散服从Fick定律。该定律揭示了溶液中溶质的扩散，在单位时间内通过单位面积的溶质质量入与该溶质的浓度梯度成正比，即：

式中：

为该溶质在溶液中的浓度c沿方向s变化的浓度梯度，比例系数Dd称为扩散

系数，量纲为[L2T-1]。不同溶质的扩散系数各不相同，同一物质在不同温度下的扩散系数也不同。在浓度低的情况下，可以认为它是一个与浓度无关的常数。由于扩散是沿着浓度减小的方向进行的，而扩散系数总是正的，所以式中要加一负号。

液体在多孔介质中流动时，机械弥散和分子扩散是同时出现的，事实上也不可分。这种划分带有某种人为的性质。事实上，“纯”机械弥散不可能存在。因为当示踪剂质点沿着微小的流管运移时，分子扩散不仅使流管中的浓度趋于拉平，而且还使示踪剂质点从一条流管移向相邻的另一条流管，导致横向浓度差的减小。但分子扩散，即使在没有水流运动的情况下也能单独存在。当流速较大时，机械弥散是主要的；当流速甚小时，分子扩散的作用就变得很明显。显然，机械弥散和分子扩散都会使溶质既沿平均流动方向扩展又沿垂直于它的方向扩展。前者称为纵向弥散，后者称为横向弥散。

除了机械弥散和分子扩散外，某些其它现象也会影响多孔介质中溶质的浓度分布，如多孔介质中固体颗粒表面对溶质的吸附、沉淀，水对固体骨架的溶解及离子交换等。此外，液体内部的化学反应也可导致溶质浓度的变化。

一般来说，溶质浓度的变化会导致液体密度和粘度的变化。这些变化反过来会影响水流状态，即流速的变化。但在通常情况下，这类影响不大，可以忽略。 6.3.2水动力弥散系数

由于多孔介质几何结构的复杂性，从微观水平上研究一个点的运动规律实际上足不可能的；同样，从微观水平宋研究弥散也是困难的。因此，和定义渗流速度一样，也从宏观上来描述弥散现象，亦即将其定义在典型单元体(REV)上的平均值。

分子扩散服从Fick定律，通过实验和理想模型的研究，证实机械弥散也能用这个定律来描述。根据Fick定律，多孔介质中的分子扩散可用下式描述：

I″＝—D″·gradc

式中，D”为多孔介质中的分子扩散系数，量纲为[L2T-1] ，是二秩张量；c为该溶质在溶液

11

中的浓度；I″为由于分于扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量，对于机械弥散有：

I′＝一D′·gradc

式中，D′为机械弥散系数，量纲为[L2T-1] ，也是二秩张量；I′为由于机械弥散造成的个单位时间内通过单位面积的溶质质量，c的含义同前。D′和D″的量纲相同，由此定义水动力弥散系数D：

D也是二秩张量。由于水动力弥散在单位时间内通过单位面积的溶质的质量则为I＝I′ 十I″ ＝一D·gradc，如果我们选择x轴与该点处的平均流速方向一致，y轴和z轴则与平均流速 方向垂直，则上式也可以写成下列更容易被我们理解的形式：

或

此时水动力弥散系数张量：

坐标轴方向称为弥散主轴。Dxx称为纵向弥散系数，Dyy，Dzz称为横向弥散系数。由于弥散主铀的方向依赖于流速方向，即使在均质各向同性介质中，各点弥散主轴的方向也会随着水流方向的改变而各不相同。

水动力弥散系数在研究地下水物质运移问题中的意义可以和渗透系数在研究地下水运动问题中的意义相比拟，是一个很重要的参数。通过大量在末固结的多孔介质中的实验，得到了如图7-10所示的曲线。图中，纵坐标是从实验室得到的纵向弥散系数DL与溶质在所研究的液相中的分子扩散系数Dd的比值，横坐标是一个无量纲的量：

12