IMO2010中国国家队培训题

IMO2010中国国家队培训题

各位队员大家好，下面是我为挑选的一些问题，供各位在4月-6月自己练习用，请每位队员认真思考、琢磨。要求用A4纸写解答，每张纸上写上题号，每个没做过的问题都要求写出详细解答过程，以此锻炼自己的书写、表达能力。对做过的题目，如有好的解答(不必刻意去追求)也请写出。平均分配时间，在6月10日报到时上交，可以包含在80个作业题内。

希望大家在这段时间内水平能再上一个台阶。

1．设凸四边形ABCD有一个内切圆,圆心为O,直线AC,BD交于点P;AB,CD交于点Q;AD,BC交于点R.证明:OP?QR.

2．设?ABC、?PQR满足：A、P分别是QR、BC的中点,直线QR、BC分别是?BAC、?QPR的内角平分线.证明：AB+AC=PQ+PR.

3．以O1,O2,O3为圆心的三个圆有一个公共交点Q,它们两两相交所得的另外一个交点分别为A,B,C.证明:若A,B,C三点共线,则Q,O1,O2,O3四点共圆. 4．设ABCD为一个凸四边形,O为该四边形的对角线的交点.证明:若三角形OAB,OBC,OCD,ODA的内切圆半径相同,则四边形ABCD为菱形.

5．设P为三角形ABC所在平面上一点,一个过P的圆?分别交三角形PBC,PCA, PAB的外接圆于点A1,B1,C1,直线PA1,PB1,PC1分别交边BC,CA,AB于点A2,B2, C2,直线PA,PB,PC分别交圆?于点A3,B3,C3.证明: (1) 点A2,B2,C2三点共线;

(2) 直线A1A3,B1B3,C1C3三线共点.

6．圆内接四边形ABCD的对角线AC=1,设AB,BC,CD,DA的长分别为a,b,c,d.证明:数ad+bc夹在

bc和之间. cb7．对每个正整数n,证明:存在唯一(在不相似的意义下)的三角形ABC,使得?MBH=n?ABM=n?CBH,这里M,H为BC上的点,BM为该三角形的一条中线,而BH为高.并求三角形ABC的各内角的大小(用n表示).

8．设平行四边形ABCD内有一点P，?PAD、?PBC的外接圆还交于Q，?PAB、?PCD的外接圆还交于R，证明：QR的中点就是平行四边形的中心. 9．设D、E、F分别在?ABC的边BC、CA、AB上，且AD、BE、CF交于一点G，把?ABC划分成6个小三角形，求证：这6个小三角形的外心共圆的充要条件是G为?ABC的重心. 10．

两个边长为0.9的正方形都在一个半径为1的圆内,证明:这两个正方形有

重叠部分. 11．

设n为正整数,对i?{1,2,…,n},数xi都属于(0,

n?),数ai都不小于1.证明: 2nxi2aix ?()??(i)ai>2.

i?1sinxii?1tanxi12．

设x1,x2,…,xn为正实数,记fn(x1,x2,…,xn)=?i?1nxi,这里xn+1=x1,

xi?1?xi?2xn+2=x2.证明下述结论:

n(1) fn(x1,x2,…,xn)>;

4n(2) 若x1?x2?…?xn>0,则fn(x1,x2,…,xn)?;

2n(3) 若0

2(4) 若存在c>0,使得对任意正实数x1,x2,…,x2n,都有f2n(x1,x2,…,x2n)?c,则对任意正实数x1,x2,…,x2n-1,都有f2n-1(x1,x2,…,x2n-1)?c-13．

1. 2 (1) 设函数f,g:Z?Z都是单射.证明:函数h:Z?Z不是一个满射,这里

h(x)=f(x)g(x).

(2) 设函数h:Z?Z是一个满射.证明:存在两个满射f,g:Z?Z,使得h(x)=f(x)g(x). 14．

设D是由正整数组成的非空有限集,且D中所有元素的最大公约数等于

1.证明:存在一个双射f:Z?Z,使得对任意整数n,有|f(n)-f(n-1)|?D. 15．

证明:存在无穷多对本原的勾股数(a,b,c)和(x,y,z),使得|a-x|,|b-y|,|c-z|都等

于3或4.例如(12,5,13)与(15,8,17),(77,36,85)与(80,39,89)都符合要求. 16．

给定正实数?,我们称正整数n为一个“?－数”:如果存在正整数a,b,满足

n=ab,且a?b<(1+?)a.证明:存在无穷多个正整数n,使得n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5

都是“?－数”. 17．

求满足下述条件的所有正整数组(a,b,x,y):

(a+b)x=ay+by. 18．

设b是大于5的整数,对每个正整数n,考虑b进制下的数xn=1?12?25.????n?1个n个证明:“存在一个正整数M,使得对于任意大于M的整数n,数xn是一个完全平方数”的充要条件是b=10. 19．

称不满足|n|是完全平方数的整数n为好数.

求所有满足下述性质的所有整数m:数m可以用无穷多种方式表示为三个好数的和,并且这三个好数的乘积一个奇数的平方. 20．

数列{an}定义如下:a0=2,ak+1=2ak2-1,k=0,1,2,….证明:若奇质数p满足p|an,

则2n+3|p2-1. 21．

设m,n是同奇偶的两个正整数,且m2+1-n2|n2-1.

证明:m2+1-n2是一个完全平方数.

22．

证明:对任意正整数n,存在正整数N, 使得关于变量x1,x2,…,xn的下述等

式恒成立:

x1x2…xn=?ci(ai1x1?ai2x2???ainxn)n.

i?1N其中ci都是有理数,而aij都是-1,0,1中的某个数. 23．

a3?b3证明:任意一个正有理数都可以表示为3的形式,这里a,b,c,d都是正

c?d3整数. 24．

证明:至多有有限个正整数,它们不能表示为若干个不同正整数的平方和

的形式. 25．

设正整数

a>b>c>d,满足:ac+bd=(b+d+a-c)(b+d+c-a).问:数

ab+cd,ac+bd,ad+bc的质因子个数(相同的依重数计算)的最小值各为多少？证明你的结论. 26．

设正整数数列a1,a2,…满足:对任意正整数m,n,都有(am,an)=a(m,n).证明:存在

d|n正整数数列b1,b2,…,使得对任意正整数n,都有an??bd. 27．

求所有的正整数n(?2),使得?(n)?(n)>n2-n. 这里?(n)表示n的所有正

约数之和, ?(n)表示1,2,…,n中与n互质的正整数的个数. 28．

设a1=2,ak+1=a1…ak+1.若b1,…,bn都是正整数,而r是一个有理数,且

111?????1.证明:r+1?an+1,且b1…bn(r+1)?a1...an+1. b1bnrr?max{b1,…,bn},29．

设a是一个大于1的正整数,f(x)是一个非常数的系数都是非负整数的多

项式.对正整数n,记S(n)={f(1),f(2),…,f(n)}.

(a) 证明:存在无穷多个正整数n,使得S(n)可以分划为a个子集,这些子集中各元素之和都相等.

(b) 是否一定存在正整数n0,使得对任意满足:n?n0且a|?f(k)的正整数n,上

k?1n述分划都存在？ 30．

12设正整数n,k满足n?k?n.求最小的正整数m,满足:可以在n?n的

23国际象棋棋盘上放m个兵,使得没有一行或一列上有连续k个空格.

31． 从一个三元非负整数组(a,b,c)出发,允许进行下述操作:从这三个数中取两

个数,设为x,y,将其中的一个数改为x+y或|x-y|,例如(3,5,7)?(3,5,4)即为一次操作.证明:存在常数r>0,使得对任意正整数a,b,c,n,若a,b,c<2n,可以对(a,b,c)经过至多rn次操作,将该三元数组中的一个数变为0. 32．

将任意三元正整数数组(a,b,c),a,b,c不全相同,对应一个棱长为a,b,c的长方体,每种尺寸的均有充分多个.用这些长方体填满了一个10×10×10的正方体(长方体的棱都与正方体的某条棱平行).

(1) 如果所用的长方体的个数有至少100个.证明:其中至少有两个长方体,它们的平行的棱具有相同的长度.

(2) 证明:不同尺寸的长方体的个数小于100.(又问:100最少可以为多少?使得(2)成立.) 33．

设A是一个由有限个正整数组成的集合.证明:存在一个由正整数组

成的集合B,使得B的任意两个子集的元素和不相同,|B|?|A|,且对任意a?A,都存在B的一个子集,其元素和等于a. 34．

称由k个人组成的集合为一个“k-团”,如果这k个人两两相识.在一次集

会上,已知任意两个“3－团”中至少有一个人是公共的,并且不存在“5－团”.证明:在该次集会上,存在两个人(或更少的人),他们离开后,剩下的人之间不存在“3－团”.

35．

有n张卡片,每张卡片都是一面为红色,另一面为兰色.将它们放在一直

线上,都是红色面朝上.每次允许选一张红色面朝上的卡片(但不能取两端的卡片),将它拿走,同时将与它最近的卡片翻过来(左右两边各一张).求所有的正整数n,我们可以通过有限次操作,使得最后只剩下两张卡片. 36．

一个游戏有n个女孩参加,每人手里有一只球,每个两人对之间将当时手中的球传给对方,依任意次序进行,若每两人之间都恰好传球一次,则游戏结束.若游戏结束时,每个人手中的球都不是自己的,则称游戏是好的,若每个手中的球都是自己的,则称游戏为无聊的.求所有的正整数n,使得游戏既有可能是好的,也有可能是无聊的.

37．

设m,n是两个互质的正整数,满足:6?2m

点,从这n个点的某一个出发(设该点为P),顺时针方向离开P的第m个点设为Q,作直线PQ,然后从Q出发重复上述操作,直至不出现新的直线.用I表示所有这些直线在圆内的交点数(不含圆周上的点). (1) 求I的最大值(用m,n表示)；

(2) 证明:I?n,并证明:当m=3,n为偶数时,存在n个点,使得I=n. 38．

设A、B、C是集合{1,2,…,n}的一个分划,满足:对任意x?A,y?B,z?C,数

n. 4x,y,z中没有一个数等于另外两个数之和.证明:min{|A|,|B|,|C|}?39．

设S={1,2,…,n},A1,A2,…,Ak为S的子集,且对任意1?i1,i2,i3,i4?k,均有

|Ai1?Ai2?Ai3?Ai4|?n-2. 证明:k?2n-2. 40．

设C1,C2,…,Cn为平面上个半径为1的圆,已知其中任意两个圆不相切,且

a?Ab?B它们是连通的(即对任意{1,2,…,n}的2-分划A,B,集合?Ca与?Cb的交不空),这里每个圆是指其圆周,而不包含其内部. 证明: |S|?n,这里S=41．

1?i?j?n?Ci?Cj.

设r1,r2,…,rn为实数.证明:存在集合S?{1,2,…,n},使得1?|S?{i,i+1,i+2}|?2,

1这里i=1,2,…,n-2.且|?ri|?

6i?s?|r|.

ii?1

n

42． 一个连通的简单图,既不是奇数个顶点构成的奇圈,也不是完全图.若顶点

的度最大为n.求证:可以将每个顶点染色不超过n种，使相邻顶点不同色. 对于边染色,要求有共同顶点的边颜色都不同,有什么类似结论？