第2章一元二次方程

第二章 一元二次方程

单元1 花边有多宽 课时1 花边有多宽(1)

课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空) 1.如果代数式7x-3与互为倒数，则x= .

31 2.用两根长为12cm的铁丝分别围成一个正方形和一个长和宽之比为2:1的长方形,则正方形面积为 , 长方形面积为 .

3.当m= 时,方程3(x+1)=5m-2的解为x=-5.

4.如果1y+(n-1) y2=3是关于y的一元一次方程,则n= .

25.一个矩形的花园,面积为50 m，宽比长少5 m,若设矩形花园的宽为xm,则长为 m,根据题意,可得方程 .

2

典型例题分析

例1：下列方程哪个是关于x的一元二次方程 ( ) A. ax2+bx+c＝0 B.k2+5k+6＝0 C. 3x+2x－1＝0 D. (m +3)x+4x－2＝0

[点拨] 把只含有一个未知数并且都可以化为ax2+bx+c＝0 (a、b、c为常数，a≠0)的整式方程叫做一元二次方程．A不一定是一元二次方程,因为a=0时,它不是一元二次方程,所以将A排除掉;B中未知数不是x,所以B不是关于x的一元二次方程;C中未知数最高次数为3,C也不是;D符合一元二次方程的一般形式特点,且二次系数m2 +3≥3,即m取任何实数m2 +3都不等于零,所以D是一元二次方程.

答案：D.

例2：指出下列方程中,是一元二次方程的是 .(填入序号即可) ①5x2+1=0 ②3x2+⑤

3x?152322

1x+1=0 ③4x2=ax(其中a为常数) ④2x3+3x=0

=2x ⑥(x2?x)2=2x ⑦｜x2+2x｜=4. ⑧ x2+3x+1= x2

[点拨]一元二次方程是只含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,故②、④、

⑧不是一元二次方程. 解：①③⑤⑥⑦.

例3：按要求填写下表: 序号 (1) (2) (3) (4) (5) (６) 已知方程 x+5x=50 ３y2=18 (2y－1) (3y+2)=2－y2 (x－1) (x－５)＝９ (2x+3)2=4(3x－1)2 2一般形式 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 －ax2+ax+bx2－mx＝７ （其中a、m、b为常数，且a≠b） 第 1 页 （共 37 页）

[点拨]将一元二次方程化成一般形式是做好本题的关键,寻求各项及其系数时, ①是注意项与系数的区别;②是系数前面的符号.

解：(1) x+5x－50＝０；x，１，5x，５，－50． (2) ３y2－18＝０；３y2，３，０，０，－18．

(3)7 y+y－4＝０ ；7 y ，７，y ，１，－4 ．

(4) x2－６x－４＝０；x2，１，－６x，－６，－4 ．

22

(5) 32x－36x－５＝０；32x，32，－36x，－36，－５． (6) (b－a)x2+(a－m) x－７=0；(b－a)x2，b－a，（a－m) x，a－m，－７.

2

2

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基础训练

一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号

填在括号内）

1．(兰州)下列方程中是一元二次方程的是 （ ）

Ａ．2x?1?0

Ｂ．y2?x?1

Ｃ．x2?1?0

Ｄ．

1x?x?1

22. 一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是 ( )

A. 7x2,2x,0 B. 7x2,－2x，无常数项 C. 7x,0,2x D. 7x,－2x,0.

3. 若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是 ( )

A. 2

B. －2

C. 0

D. 不等于2

二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上） 4. 将方程(x+1)2=2x化成一般形式为 .

5. 方程5x=2(x+2)的二次项是__________，一次项是__________，常数项是 . 6.（三明）若关于x的方程x2＋mx－6=0有一个根是2，则m的值为 . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 7. 判定下列方程是否一元二次方程,并说明理由. ①x2+2xy－y2=0 ②3x+3x?15222

2

1x2

=0 ③x2=1 ④ (3+ x)2=4

⑤

=－9x ⑥(x－3)x+1= x+3x ⑦ x－x+1= x

322

8. 把方程(4－x)2=6x－5化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数及常数项.

拓展延伸

一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）

1． 已知x2+3x+5的值为9，则代数式3x2+9x-2 的值为 ( )

A.4 B.6 C.8 D.10

2. (连云港)为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入

第 2 页 （共 37 页）

3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） Ａ．2500x2?3600

Ｂ．2500(1?x)2?3600

Ｄ．2500(1?x)?2500(1?x)2?3600

Ｃ．2500(1?x%)2?3600

3.若a x2-5x+3＝０是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解是（ ） A．a>-2 B．a≤-2 C．a>-2 且a≠0 D．a>2 二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）

4. 方程xm-1-3mx+m-2=0是关于x的一元二次方程，则此一元二次方程是 .

5. （大连课改）大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为 ． 6. 一元二次方程2 x2+(a+8)x-(2a-3)＝０的二次项系数，一次项系数及常数项之和为5，则a= . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

7.一个面积为60m2的矩形花园，它的长比宽多11m，花园的长和宽各是多少？设宽为x米，请列出方程并化为一般式。

8. 一块长为12m、宽为9m的矩形花园，中间种植花草，四边用瓷砖铺设，使其宽度一样，要使花草面积是矩形的一半，设瓷砖宽度为xm，则所列方程是怎样的？将其化成一般式.

单元1 花边有多宽 课时2 花边有多宽(2)

课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空) 1.方程3x2+8＝0的一次项系数是 . 2. 方程300=3x2,则 x为 .

3. 方程（x-1）2＝100，则x为 .

22

4. a+2ab+ b = . 5. 某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.

典型例题分析

例1：一个矩形的花园,面积为50 m，宽比长少5 m,求这个花园的长和宽各是多少米？

[点拨] 列方程解应用题的关键是找到题目中的等量关系，本题中的等量关系是：矩形的面积=长×宽.

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2

在学习一元二次方程的解法以前,可以用估算的方法得到该一元二次方程的解,要使得到的解符合实际意义,

2

所以可直接考虑x为正即可,实际上x=－10时, x+5x－50＝0也成立,但因－10不合题意,应舍去.

解：设矩形花园的宽为xm,则长为(x+5)m,根据题意,得： x(x+5)=50.

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整理得x+5x－50＝0 估算一元二次方程的解:

x x2+5x－50 ∴x=5, x+5=10.

答: 矩形的宽5m,长为10m.

例2：观察长方体盒子的制作过程:把一块长方形的纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,就可以做成一个没有盖子的长方体盒子.

如图(1),,一块长为40cm,宽为30cm的纸片,在四个角上剪去四个相同的小正方形,然后做成图(2)所示的底面积为的750cm2的没有盖子的长方体盒子.若设小正方形的边长为,那么这个盒子底部的长与宽分别为 和 ,根据题意,可列方程 ,整理成一般形式得 .

40cm (1) (2) 30cm xcm 4 －14 5 0 6 16 解:(40-2x); (30-2x) ; (40-2x)(30-2x)=750;2 x2-70x+225＝0.

[点拨]:看此题，阅读量很大，平面图形与立体图形全面展现，但实际只要抓住矩形面积即可求解.故在审题过程中应抓住题目的本质，不要被题意所迷惑，认真分析图中各量之间的关系.

例3：已知关于x的方程(m +3)xm(1) m为何值时,它是一元二次方程. (2) m为何值时,它是一元一次方程.

[点拨] 此题要根据一元二次方程和一元一次方程的定义来确定m的值.此方程为一元二次方程的条件是m－1=2且m +3≠0; 此方程为一元一次方程的条件应按以下几个方面讨论:①m +3=0且m－1≠0；②m2 －1=1且(m +3) +2(m－1) ≠0；③m2－1=0且2(m－1)≠0.

2??m?1?2解：⑴由?，得出m =

??m?3?02?1+2(m－1) x－1＝0.

2

3

∴当m =3时, 原方程为一元二次方程.

(2) 若使原方程为一元一次方程,则m的情况应分为以下三种情况讨论: ①由???m?1?0??m?3?0，得出m = －3；

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