高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案：第四章 4.1 圆的方程

圆的方程

4．1.1 圆的标准方程

预习课本P118～120，思考并完成以下问题 1．确定圆的几何要素有哪些？ 2．圆的标准方程是什么？ 3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？ [新知初探]

1．圆的标准方程

(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 2．点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则

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位置关系 点在圆上 点在圆内 点在圆外 判断方法 几何法 │MA│＝r?点M在圆A上 │MA│r?点M在圆A外 代数法 点M(x0，y0)在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M(x0，y0)在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点M(x0，y0)在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 [小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆( )

(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a( ) 答案：(1)× (2)×

2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( ) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上

D．不确定

解析：选A ∵m2＋25＞24， ∴点P在圆外．

3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋y2＝4

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求圆的标准方程

[典例] 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． [解] [法一 待定系数法]

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， a2＋b2＝r2，??

则有??a－1?2＋?b－1?2＝r2，

??2a＋3b＋1＝0，

a＝4，??

解得?b＝－3，

??r＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. [法二 几何法]

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，

???2x＋3y＋1＝0，?x＝4，

∴由?得?

??x＋y－1＝0，y＝－3，??

即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝42＋?－3?2＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [活学活用]

已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， ?0－a?2＋?5－b?2＝r2，??

于是有??1－a?2＋?－2－b?2＝r2，

???－3－a?2＋?－4－b?2＝r2.

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a＝－3，??

解得?b＝1，

??r＝5.

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

13?法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为??2，2?，直线AB的斜率－2－5131

x－?，即x－7y＋10＝0.kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝?27?2?1－0同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.

??x－7y＋10＝0，

由?得圆心的坐标为(－3,1)， ?2x＋y＋5＝0?

又圆的半径长r＝?－3－0?2＋?1－5?2＝5， 故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

点与圆的位置关系

[典例] 已知圆C的圆心为C(－3，－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1,0)，M2(1，－1)，M3(3，－4)与圆C的位置关系．

[解] 因为圆C过原点O，圆心为C(－3，－4) ，所以圆C的半径长r＝|OC|＝?－3－0?2＋?－4－0?2＝5，因此圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.

因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M1(－1,0)在圆C内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M2(1，－1)在圆C上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M3(3，－4)在圆C外．

判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系． (3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内． 此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d

已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

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