2020届高考数学一轮复习条件概率、二项分布及正态分布练习含解析

安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. ①求至少有一种新产品研发成功的概率；

②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列. 【答案】见解析

－

21

【解析】记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝

33－－－－－

32

，P(F)＝，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立. 55

－

－

－

①记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F， 122于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，

3515

－

－

－

213

故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝. 1515

－

122

②设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)＝×＝，

3 515

－－

－

P(X＝100)＝P(EF)＝×＝＝，

－

13352235

31155415

P(X＝120)＝P(EF)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝.

故所求的分布列为

2335

615

25

X P 0 2 15100 1 5120 4 15220 2 5【规律方法】 1.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝

P(AB)

，这是求条件概率的通法. P(A)

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝

n(AB)

. n(A)

2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【训练1】 (1)(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里

的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05

B.0.007 5

1C. 3

1D. 6

1

(2)(2018·濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

2( )

A.3 16

3B. 4

C.13 16

1D. 4

【答案】 (1)C (2)C

【解析】 (1)设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝P(AB)0.051

＝＝. P(A)0.153

(2)灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 1111111111113

∴灯泡不亮的概率是×××＋×××＋×××＝，

22222222222216∵灯亮和灯不亮是两个对立事件， 313

∴灯亮的概率是1－＝.

1616考点二 全概率公式

【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】见解析

【解析】设事件A为“任取一件为次品”， 事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.

B1∪B2∪B3＝S，

由全概率公式得

P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，

P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，

故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 【规律方法】全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若

A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中.

(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.

(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.

【训练2】 一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率. 【答案】见解析

【解析】A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}.

－

－

因为B＝AB∪AB，且AB与AB互不相容，所以

－

－

－

P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝0.6.

考点三 独立重复试验与二项分布

【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).

65

10946109

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 【答案】见解析

【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).

(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，

X服从超几何分布.

C2863C12C2828

P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，

C40130C4065C1211

P(X＝2)＝2＝，

C40130∴X的分布列为 22

1

1

X P 0 63 1301 28 652 11 130123

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 4010

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取3??2，值为0，1，2，且Y～B??， ?10?3??P(Y＝k)＝Ck2?1－??10?

2－k?3?， ?10???

2

k?7?490

所以P(Y＝0)＝C2·??＝，

?10?100

P(Y＝1)＝C1·＝， 2·

3

10

7211050

P(Y＝2)＝C2＝2·?10?∴Y的分布列为

?3???

2

9. 100

Y P 0 49 1001 21 502 9 100【规律方法】 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cnp(1－p)

kkn－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试

验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试