（通用版）高三数学二轮复习第一部分拉分题压轴专题（二）第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略教

压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略

解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．

解答题的热点题型有：①直线与圆锥曲线位置关系的判断；②圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；③轨迹方程及探索性问题的求解．

[师说考点]

圆锥曲线中最值、范围问题的求解方法

(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．

(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再利用基本不等式或单调性求这个函数的最值，这就是代数法．

x2y2

[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜

t3

率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围． [解] 设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0)．

43π

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

4因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y－12y＝0.

431212

解得y＝0或y＝，所以y1＝. 77

11212144

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

27749(2)由题意t>3，k>0，A(－t，0)．

x2y2

x2y2

2

x2y222222

将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得(3＋tk)x＋2t·tkx＋tk－3t＝0.

t3t2k2－3tt（3－tk2）

由x1·(－t)＝， 2，得x1＝2

3＋tk3＋tk6t（1＋k）

故|AM|＝|x1＋t|1＋k＝. 2

3＋tk22

1

1

由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，

k6kt（1＋k）

故同理可得|AN|＝. 2

3k＋t由2|AM|＝|AN|，得

3

2

2k， 2＝23＋tk3k＋t即(k－2)t＝3k(2k－1)．

3k（2k－1）3

当k＝2时上式不成立，因此t＝.

k3－2

k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）

t>3等价于＝<0，

k3－2k3－2

即

k－2

<0. k3－2

??k－2>0，??k－2<0，3因此得?3或?3解得2

?k－2<0?k－2>0，??

3

故k的取值范围是(2，2)． [抢分策略]

缺步解答——能做多少做多少

1．在求解第(2)问时，学生一般能将直线方程和椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，由此写出判别式和根与系数的关系，便可得到基本分数．若学生稍加思考，由于直线和椭圆的一交点为(－t，0)，从而可求出另一交点坐标，若要求出k的范围，仍存在一定难度，这就需要我们学会使用一定的技巧答题，能答多少答多少．

2．由于第(2)问难度较大，要把本题顺利解答完整对大多数考生而言，实在太难．此时，不要放弃，要学会缺步解答，所谓缺步解答，就是如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是：将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但能拿到的分数却已过半，这叫“大题巧拿分”．

[应用体验]

x2y2

1．(2016·武汉调研)已知双曲线Γ：2－2＝1(a>0，b>0)经过点P(2，1)，且其中一焦点

abF到一条渐近线的距离为1.

(1)求双曲线Γ的方程；

(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．

x2y241

解：(1)∵双曲线2－2＝1过点(2，1)，∴2－2＝1.

abab 2

不妨设F为右焦点，则F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝∴b＝1，a＝2.

∴所求双曲线的方程为－y＝1.

2

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m.

2

|bc|

a2＋b2

＝b，

x2

2

将y＝kx＋m代入x－2y＝2中，整理得(2k－1)x＋4kmx＋2m＋2＝0. －4km2m＋2

∴x1＋x2＝2，① x1x2＝2.②

2k－12k－1∵

＝0，∴(x1－2，y1－1)·(x2－2，y2－1)＝0，

2

22222

∴(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝0， ∴(k＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋m－2m＋5＝0.③ 将①②代入③，得m＋8km＋12k＋2m－3＝0， ∴(m＋2k－1)(m＋6k＋3)＝0.而P?AB，

∴m＝－6k－3，从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3. 将y＝kx－6k－3代入x－2y－2＝0中， 判别式Δ＝8(34k＋36k＋10)>0恒成立， ∴y＝kx－6k－3即为所求直线．

|2k－6k－3－1|4|k＋1|

∴P到AB的距离d＝＝. 22

1＋kk＋1

2

2

2

2

2

2

2

?d?k＋1＋2k＝1＋2k≤2.

∴??＝2

k＋1k2＋1?4?

∴d≤42，即点P到直线AB距离的最大值为42.

[师说考点]

圆锥曲线中定点与定值问题的求解思路

(1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y＝kx＋m(k存在的情形)．然后利用条件建立k与m的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．

(2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．

2

2

x2y2

[典例] (2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离

ab心率是

32

，抛物线E：x＝2y的焦点F是C的一个顶点． 2

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上．

a2－b2322

[解] (1)由题意知＝，可得a＝4b.

a2

?1?因为抛物线E的焦点为F?0，?， ?2?

1

所以b＝，a＝1.

2

所以椭圆C的方程为x＋4y＝1.

2

2

?m?(2)证明：设P?m，?(m＞0)． ?2?

由x＝2y，可得y′＝x， 所以直线l的斜率为m.

因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，

2即y＝mx－. 2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，

2

2

m2

m2

x＋4y＝1，??

联立方程?m2

y＝mx－，?2?

得(4m＋1)x－4mx＋m－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m＜2＋5. 4m由根与系数的关系得x1＋x2＝2，

4m＋12m因此x0＝2. 4m＋1

3

3

2

2

2

3

4

22

4