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初中数学竞赛专题培训 第七讲 根式及其运算

二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．

二次根式的性质：

二次根式的运算法则：

设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式． 例1 化简：

法是配方去掉根号，所以

因为x-2＜0，1-x＜0，所以

原式=2-x+x-1=1．

＝a-b-a+b-a+b=b-a．

说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．

例2 化简：

分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有

理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

解法1 配方法．

分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以

看成

配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则

解法2 待定系数法．

例4 化简：

(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．

解 设

两边平方得

②×③×④得 (xyz)2

=5×7×35=352

．

因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以

解 设原式=x，则

解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3

＋3ab(a＋b)来解．

将方程左端因式分解有

(x-4)(x2

＋4x＋10)＝0．

因为

x2

＋4x＋10＝(x＋2)2

＋6＞0， 所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4． 解法2

说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．

例8 化简：

解(1)

本小题也可用换元法来化简．

解 用换元法．

解 直接代入较繁，观察x，y的特征有

所以

3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2

-11xy ＝3(x＋y)2

-11xy

＝3×102

-11×1＝289． 例11 求

分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算． 解 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2

-b2

，所以

A＝(2-1)(2＋1)(22

＋1)(24

＋1)…(22

56＋1)＋1 ＝(22

-1)(22

＋1)(24

＋1)(28

＋1)…(22

56＋1)＋1 ＝(24

-1)(24

＋1)(28

＋1)(216

＋1)…(22

56＋1)＋1 ＝…＝(22

56-1)(2256

＋1)＋1

＝2

2×256

-1＋1＝2

2×256

，

的值．

分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循．

解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有

两边平方得

两边再平方得

x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2

-x＋2＝0．

观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有

因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有 (x＋1)(x-2)(x2

＋x-1)＝0．

解 因为

练习七

1．化简：

2．计算：

3．计算：