2018版高考数学复习压轴题命题区间三三角函数与平面向量

πC． 23πD．

4

―→―→―→―→3―→

解析：选D 依题意，AC＝AB＋BC＝AB＋BD

4―→3―→―→1―→3―→―→＝AB＋(AD－AB)＝AB＋AD，BE

444―→―→1―→―→

＝AE－AB＝AD－AB，

3

→3―→??1―→―→?―→―→?1―

所以AC·BE＝?AB＋AD ?·?AD－AB ?

4?4??3?1―→21―→22―→―→

＝－|AB|＋|AD|－AD·AB

4431212―→―→112

＝－×2＋×(22)－AD·AB＝，

4433―→―→

所以AD·AB＝－4，

―→―→AD·AB－42

所以cos∠BAD＝＝＝－，

―→―→2| AD|·|AB|2×22因为0＜∠BAD＜π， 3π

所以∠BAD＝．

4

2．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别―→―→―→1―→―→―→

在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为________．

9λ

解析：法一：(等价转化思想) ―→1―→―→1―→因为DF＝DC，DC＝AB，

9λ2

―→―→―→1―→―→1－9λ―→1－9λ―→

CF＝DF－DC＝DC－DC＝DC＝AB，

9λ9λ18λ―→―→―→―→―→

AE＝AB＋BE＝AB＋λBC，

―→―→―→―→―→―→1－9λ―→AF＝AB＋BC＋CF＝AB＋BC＋AB

18λ＝

1＋9λ―→―→

AB＋BC． 18λ

→―→―→―→―→―→?1＋9λ―

AB＋BC ?所以AE·AF＝(AB＋λBC)·??

?18λ?

＝＝＝

1＋9λ?―1＋9λ―→―→?→―→

AB2＋λBC2＋?1＋λ·AB·BC ?18λ?18λ?1＋9λ19＋9λ×4＋λ＋×2×1×cos 120° 18λ182117＋λ＋≥2 9λ218

211729

·λ＋＝， 9λ21818

21

当且仅当＝λ，

9λ2

229―→―→

即λ＝时，AE·AF的最小值为．

318法二：(坐标法)

以线段AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

3??13??1

则A(－1,0)，B(1,0)，C?，?，D?－，?，

?22??22?―→―→―→―→―→?13?所以AE＝AB＋BE＝AB＋λBC＝?2－λ，λ?，

2??2―→―→―→―→1―→?113?

AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝?＋，?，

9λ2??29λ33―→―→?1??11?所以AE·AF＝?2－λ??＋?＋×λ

2?2??29λ?217λ217

＝＋＋≥＋2 1829λ1821

当且仅当＝λ，

9λ2

229―→―→

即λ＝时，AE·AF的最小值为．

31829

答案： 18

―→―→

1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|OA＋OB|≥

3―→―→―→

|AB|，那么OA·OB的取值范围是( ) 3

A．[－2,4)

B．(－2,4)

λ229·＝， 29λ18

C．(－4,2) D．(－4,2]

―→―→21―→―→2

解析：选A 依题意，(OA＋OB)≥(OB－OA)，

3―→―→

化简得OA·OB≥－2，

又根据三角形中，两边之差小于第三边， ―→―→―→―→―→可得|OA|－|OB|＜|AB|＝|OB－OA|， ―→―→2―→―→2

两边平方可得(|OA|－|OB|)＜(OB－OA)， ―→―→―→―→

化简可得OA·OB＜4，∴－2≤OA·OB＜4．

―→―→―→

2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC―→―→―→―→

且|OA|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为( )

1A． 21C．－ 2

B．

3 23 2

D．－

―→―→―→

解析：选A 由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点， 即BC为△ABC外接圆的直径，

―→―→―→―→―→

所以|OA|＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1， 故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．

1―→―→―→

所以向量BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝1×cos 60°＝．故选A．

23．(2017·石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )

A．[－2，1] C．[－1,1]

B．[－1，2] D．[1，2]

解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]， 0≤α≤π，??π

∴α－β＝，又?π

20≤β＝α－≤π，?2?π

则≤α≤π， 2

∴sin(2α－β)＋sin (α－2β)

π??＝sin?2α－α＋?＋sin(α－2α＋π) 2??π??＝cos α＋sin α＝2sin?α＋?，

4??π3ππ5π

∵≤α≤π，∴≤α＋≤， 2444π??∴－1≤2sin?α＋?≤1，

4??即所求取值范围为[－1,1]．故选C．

4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是( )

A．1 C．2

B．2 D．22

解析：选D ∵向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|， ∴|c－(a＋b)|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|， ∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤当且仅当|a＋b|＝|a－b|，

即a⊥b时，(|a＋b|＋|a－b|)max＝22． ∴|c|≤22．∴|c|的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝sin

2

a＋b|2＋|a－b|2＝a2＋2b2＝22．

ωx11

＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R．若f(x)222

在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )

?1?A．?0，?

?8??5?C．?0，? ?8?

?1??5?B．?0，?∪?，1? ?4??8??1??15?D．?0，?∪?，? ?8??48?

1－cos ωx11

解析：选D f(x)＝＋sin ωx－ 222π?12?

＝(sin ωx－cos ωx)＝sin?ωx－?．

4?22?因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以＞2π－π，

2

π

即＞π，所以0＜ω＜1． ω当x∈(π，2π)时，

T