高考数学-数列通项公式求解方法总结

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182则，故数列?2{a?3n?10n?18}为以n2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列{an?3n2?10n?18}是等

比数列，进而求出数列{an?3n2?10n?18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 五、对数变换法

5例10 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

55解：因为an?1?2?3n?an式两边取常用对数，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3n?an得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2

⑩

设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 11 ○

将⑩式代入○11式，得5lgan?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)，两边消去5lgan并整理，得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

lg3?x???lg3?x?5x?4，故 ??lg3lg2x?y?lg2?5y??y???164?代入11式，得lgan?1?○由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??) 12 ○41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0及12式， ○41644164lg3lg3lg2n???0， 4164保护原创权益·净化网络环境

lgan?1?则

lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n??}是以lg7???为首项，以5为公比的等比数列，41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1n???(lg7???)5，因此则lgan?41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614

?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14则an?75?35n?4n?116?25n?1?14。

5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3n?an转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项公式，最

41644164lgan?1?后再求出数列{an}的通项公式。 六、迭代法

3(n?1)2例11 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an?1?a3(n?1)2nn3n?2，所以an?an?1n?13(n?1)?2?[an]3n?2 ?2n?2n?1保护原创权益·净化网络环境

3(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)3(n?2)?2?[an]3(n?1)?n?2?33(n?2)(n?1)n?2?an?33n?32(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)???a13?an?1

?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53n?1n(n?1)?n!?22。

n3(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取

常用对数得lgan?1?3(n?1)?2n?lgan，即

lgan?1?3(n?1)2n，再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。

七、数学归纳法

例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 1229(2n?1)(2n?3)8(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348 a3?a2????(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。

(2?1?1)29保护原创权益·净化网络环境

(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，

(2k?1)28(k?1)

(2k?1)2(2k?3)2ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222

(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

例13 已知数列{an}满足an?1?*1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?故an?1?121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 241624即4bn?1?(bn?3)

因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0

22保护原创权益·净化网络环境