论文函数一致连续的判定与应用

周口师范学院本科毕业论文（设计）

x1?x2??时,就有f?x1??f?x2???.

这里可能会产生这样的疑问：既然对I中每一个点x0都能找出相应的

???;x0?，那么取这些???;x0?的最小者或者是下确界作为正数????，不就使其

与点x0无关了吗？事实上，这不一定能办到.因为区间I中有无穷多个点，从而

也对应着无穷多个正数???;x0?，这无穷多个正数却未必有最小的正数或下确界.

所以，f(x)在区间I上一致连续反映出f(x)在I上各点的“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体的性质.

1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系 定理2 函数f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在I上连续. 这个定理显然成立，只须将其中的一个点（x?或x??）固定即可，但是f(x)在

I上连续，函数f(x)在区间I上却不一致连续. 例1 证明函数y?1在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）. x1?证明 取?0?1，对???0（?充分小，不妨设??），取x???,x???，

22则虽然有 x??x???但

?2??，

111???1 x?x???由函数一致连续的定义，函数y?1在(0,1)内不一致连续. x那么应具有什么样的条件，函数f(x)在I上连续才能在I上一致连续呢？

定理3 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则函数f(x)在?a,b?上一致连续.

这就是著名的G.康托（Con tor）定理.函数在闭区间上连续的这一性质对

于研究函数一致连续性是非常重要的，由它我们可以推出许多重要结论.

注1 对于函数的一致连续性的掌握应该注意以下两点： （1）一致连续的函数必连续，连续函数不一定一致连续.

（2）函数一致连续的否定叙述：设函数f(x)在区间I上有定义，若??0?0，

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使???0，?x?,x???I，虽然有

x??x????

但有 f(x?)?f(x??)??0，

称函数f(x)在区间I上非一致连续.

因此，我们可以在某一点讨论函数的连续性，却不能在这一点讨论函数的一致连续性.函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映

的是在整个区间上的整体性质，它们是两个不同的概念，既有联系又有区别.

2. 一元函数一致连续的判断和应用

2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性

定理3 G.康托定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续.

这个定理的证明可应用实数的连续性命题中的有限覆盖定理或致密性定理

来证明，下面用致密性定理来证明.

证明 若不然，即??0?0,对???0,在区间?a,b? 内至少存在两点x1 及x2 , 虽然 x1?x2?? , 但是 f?x1??f?x2???0 . 现取??x1?n?1?n?1,2,3?? ,那么在?a,b? 内存在两点x1?n? 及 x2?n? . 虽然 n1?n??n??x2?,但是有fx1?n??fx2??0 .

n?????nk?应用致密性定理,在有界数列?x1?n??中存在一个收敛的子列x1?x0?k??? ,这?n??里 x0??a,b?,再由于x1?n??x21 , 所以 n?nk?x1?nk??x2?1, nk?nk?nk亦即x1?x2?0?k??? .

?nk??nk?因为x1?x0?k??? ,所以x2?x0?k??? ,

?nk?并且fx1?nk??fx2??0 对一切 k成立；另一方面,由于f?x? 在 x0连续,亦

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即 limf?x??f?x0?

x?x0?nk??f?x0?.所以 由函数极限与数列极限的关系,有limfx1?nk??f?x0?,limfx2k??k???????nk??0 . limfx1?nk??fx2k?????????nk?这同fx1?nk??fx2??0 对一切 k成立相矛盾.故假设不成立.从而原命题成

????立.

注2 G.康托定理对于开区间不成立，如例1中所示.

由G.康托定理可知，函数f(x)在闭区间?a,b?上一致连续?f(x)在?a,b?上连续，所以在闭区间?a,b?上连续的函数必定一致连续，而对于有限开区间和无限区间，则结论不一定成立.这就需要在有限开区间的端点或无穷远点处加上一

定的条件，一致连续性才能成立，这就有下面的定理. 定理4 函数f(x)在?a,b?内一致连续?f(x)在?a,b?连续，且limf(x)与

x?a?x?b?limf(x)都存在.

证明［充分性］令

?f(a?0),x?a?g(x)??f(x),x?(a,b)

?f(b?0),x?b?则g(x) 在?a,b?上连续,从而g(x)在?a,b?上一致连续，所以f(x)在?a,b?内一致连续. ［必要性］ 因为f?x?在?a,b? 内一致连续，所以f?x?在?a,b? 内连续，即对于

???0,???0,x1,x2??a,b? ,当x1?x2??时, 有

f?x1??f?x2???

于是当x1,x2??a,a??? 时，有

f?x1??f?x2???

x?ax?b根据柯西收敛准则,极限limf?x? 存在.同理可证limf?x? 也存在. ??根据定理4，可以得到结论：

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推论1 若f(x)在区间(a,b]（或[a,b)）上连续，且f(a?0)（或f(b?0)）存在且有限?函数f(x)在(a,b]（或[a,b)）上一致连续.

在有限区间上有一个重要的性质：函数f(x)在[a,b]上一致连续,又在[b,c]上一致连续,a?b?c .则f(x)在[a,c]上一致连续. 2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性 定理5 f(x)在???,???内一致连续的充分条件是f(x)在???,???内连续，

x???x???且limf(x)和limf(x)都存在.

x??? 证明 ???0,??1?0,?limf(x)?A,??b?0 ,当x?b 时,有 f(x)?A??2

从而若x1,x2?b,当x1?x2??1 时, 有

f(x1)?f(x2)?f(x1)?A?f(x2)?A??

所以f?x?在[b,??)上一致连续.

)，???0,??2?0,?limf(x)?B,??a?0，当同理可证：由limfx(知

x???x???x1?x2??2 时,有

f?x1??f?x2??? ,

即知f?x? 在(??,a] 上一致连续. 又f?x? 在?a,b?上连续，则f?x?在?a,b?上一致连续,???3?0当 x1?x2??3时，有

f?x1??f?x2???,

故f?x? 在?a,b? 上一致连续.取??min{?1,?2,?3} ,当 x1?x2??时便有

f?x1??f?x2???

即f?x? 在(??,??)上一致连续. 根据定理5还可以得到以下结论：

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