2006年高考文科数学试题—江西

解：结合图象及函数的意义可得。

第II卷

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．

????cos?)，则a?b的最大值为13．已知向量a?(1，sin?)，b?(1，??解：a?b＝|sin?－cos?|＝

2 2|sin（?－

?4）|?2|

?114．设f(x)?log(x?3f(m?n)? 2 －

6的)反函数为f(x)，若[f?1(m)?6]?[f?1(n)?6]?27，则

．

－

－

C

A B

解：f1（x）＝3x－6故〔f1（m）＋6〕?〔f1（x）＋6〕＝3m?3n

＋

＝3m n＝27

?m＋n＝3?f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2

15．如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路．．线的长为

10 ．

C1

A1 B1

解：将正三棱柱ABC?A1B1C1沿侧棱CC1展开， 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。

16．已知F1，F2为双曲线

xa22?yb22?1(a?0，b?0且a?b)的两个焦点，P为双曲线右支

上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?a上； Ｂ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x?b上； Ｃ．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；

0?． Ｄ．△PF1F2的内切圆必通过点?a，其中真命题的代号是 （A）、（D） （写出所有真命题的代号）．

解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|－|F2M|＝2a可得（x＋c）－（c－x）＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??23与x?1时都取得极值．

（1）求a，b的值及函数f(x)的单调区间；

2]，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围． （2）若对x?[?1，2解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b 由f?（－a＝－1223）＝

129－43a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得

，b＝－2

f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x （－?，－23） －0 23 （－－ 2323，1） 1 0 （1，＋?） ＋ f?（x） ＋ f（x） ? 极大值 ? 极小值 ? ）与（1，＋?）

所以函数f（x）的递增区间是（－?，－递减区间是（－

23，1）

12（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－

23时，f（x）＝

2227＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c 解得c?－1或c?2

18．（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率；

（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 解：（1）P1＝

910?（910）＝27291000

（2）法一：P2＝

11010101011919131法二：P2＝＋2? ?－?2??＝10101010101050091199131法三：P2＝1－? （?＋?）＝1010101010500?（910）＋21101?（110）＋29?182＋1?1810＝2131500

19．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA?（1）求tan2223，

B?C2?sin2A2的值；

（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．

22313解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?2，所以cosA＝，则

tan2B＋C2＋sin2A2sin＝cosB＋C2A2＋sinB＋C222

＝1－cos（B＋C）11＋cosA17＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA3312bcsinA＝12bc?223（2）因为S?ABC＝2，又S?ABC＝c＝

3b222，则bc＝3。将a＝2，cosA＝

213，

代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0解得b＝3

420．（本小题满分12分）

如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA?1，OB?OC?2，E是OC的中点．

（1）求O点到面ABC的距离；

（2）求异面直线BE与AC所成的角；

Ａ （3）求二面角E?AB?C的大小．

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD

因为OB＝OC，则OD?BC、AD?BC，?BC?面OAD. 过O点作OH?AD于H，则OH?面ABC，OH的长就 Ｃ

Ｅ Ｏ 22是所求的距离. 又BC＝22，OD＝OC－CD ＝2，又OA?OB，OA?OC ?OA?面OBC，则OA?OD

22AD＝OA＋OD＝3，在直角三角形OAD中，

Ｂ

有OH＝

OA?ODAD＝23＝63

A（另解：由等体积变换法也可求得答案） （2）取OA的中点M，连EM、BM，则 EM//AC,?BEM是异面直线BE与AC 所成的角，易求得EM＝

52MFHGOEC，BE＝5，

BM＝172.由余弦定理可求得cos?BEM＝

2525，

BD??BEM＝arccos

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC?面OAB，得OC?AB，又OH?面ABC，所以CF?AB，EF?AB，则?EFC就是所求的二面角的平面角. 作EG?CF于G，则EG＝

12OH＝

66，在Rt△OAB中，OF＝

OA?OBAB＝25

在Rt△OEF中，EF＝OE2＋OF2＝1＋＝5435

6?sin?EFG＝

EG30303076＝6＝??EFG＝arcsin.（或表示为arccos）

3EF181818185注：此题也可用空间向量的方法求解。

21．（本小题满分12分）

xy0)，过点F的一动直线m绕点F转如图，椭圆Q：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c，ab22y 动，并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程；

（2）若在Q的方程中，令a?1?cos??sin?，

???b?sin??0??≤?．

???22B O F P A D l x

设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N．当?为何值时，△MNF为一个正三角形？ 解：如图，（1）设椭圆Q：

xa22＋yb22＝1（a?b?0）