(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4分项练9 直线与圆 文

2019年

与平面SBD所成的角相等，故C正确．

10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，E为AA1的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA1上，且A1H＝3HC，则线段FH的长为( )

A．23 C.13 答案 C

1

解析 由题意知，AB＝8，过点F作FD∥AB交AA1于点D，连接DH，则D为AE中点，FD＝AB＝4，

2又

B．4 D．3

A1HA1D＝＝3，所以DH∥AC，∠FDH＝60°， HCDA34

DH＝AC＝3，由余弦定理得

FH＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13，故选C.

11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即

3

立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )

3

16

V，人们还用过一些3

A．d≈

60V 3115V 8

B．d≈2V

21V 11

3

33

C．d≈答案 D

D．d≈44?d?33

解析 根据球的体积公式V＝πR＝π??，

33?2?

3

得d＝

6Va6b，设选项中的常数为，则π＝， πba31×6

选项A代入得π＝＝3.1，

606

选项B代入得π＝＝3，

26×8

选项C代入得π＝＝3.2，

15

2019年

11×6

选项D代入得π＝＝3.142 857，

21D选项更接近π的真实值，故选D.

12．已知四边形ABCD为边长等于5的正方形，PA⊥平面ABCD，QC∥PA，且异面直线QD与PA所成的角为30°，则四棱锥Q－ABCD外接球的表面积等于( ) A.

125125125π B．25π C.π D.π 2462

答案 B

解析 因为PA⊥平面ABCD，QC∥PA，

所以QC⊥平面ABCD，且异面直线QD与PA所成的角即∠DQC， 所以∠DQC＝30°， 又CD＝5，所以QC＝15. 由于CB，CQ，CD两两垂直，

所以四棱锥Q－ABCD的外接球的直径就是以CB，CQ，CD为棱的长方体的体对角线，设四棱锥Q－ABCD外接球的半径为R，

5?5?2

则R＝，所以外接球的表面积为4π·??＝25π.

2?2?

13.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．

答案 2

解析 因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在11

Rt△PAC中，AC＝AB＝PA，

22所以tan∠PCA＝＝2.

14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与

PAACB1C1所成的角为________．

答案 60°

2019年

解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则∠A1CB就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则BA1＝AA1＋AB＝2，CA1＝AA1＋AC＝2，所以△BCA1是正三角形，

故异面直线所成的角为60°.

15．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC－A1B1C1内，则球O的表面积为________． 答案 100π

解析 因为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43， 取正三棱台的上、下底面的中心分别为E，E1， 则正三棱台的高为h＝EE1＝7，

2

2

2

2

在上下底面的等边三角形中， 22

可得AE＝AD＝3，A1E1＝A1D1＝4，

33

则球心O在直线EE1上，且半径为R＝OA＝OA1， 所以OE＋3＝OE1＋4，且OE＋OE1＝7， 解得OE＝4，所以R＝OE＋3＝5， 所以球O的表面积为S＝4πR＝100π.

16．已知三棱锥O—ABC中，A，B，C三点均在球心为O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若球O的体积为

256π

，则三棱锥O—ABC的体积是________． 3

5 4

22

2

2

2

2

2

答案

解析 三棱锥O—ABC中，A，B，C三点均在球心为O的球面上，且AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，则AC＝3， 1343256π

∴S△ABC＝×1×1×sin 120°＝，设球半径为R，由球的体积V1＝πR＝，解得R＝4.设△ABC外接圆

24333

的圆心为G，∴外接圆的半径为GA＝＝1，

2sin 120°∴OG＝R－GA＝4－1＝15， ∴三棱锥O —ABC的体积为

2

2

2

2

V2＝S△ABC·OG＝×

131335×15＝. 44