竞赛试题选讲之解析几何

高中数学竞赛专题讲座之四：解析几何

一、选择题部分

x2y2?1上任一点P，1．(集训试题)过椭圆C：?作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），

32延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心

率的取值范围为 （ ）

A．(0,3] 3B．(33,] 32C．[3,1) 3D．(3,1) 2解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=

3(1??)?x?HP?1x??1?λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方?PQ1????y1?y3?2?223[x?3(1??)]2y2程，得Q点轨迹为，所以离心率e=?1??[,1). ??1223?233?23?故选C.

2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方

程为(D)

A．y??12x

2B．y?12x

22C．y??16x

2D．y?16x

23．（2006年江苏）已知抛物线y?2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，

使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（B）

A．0个 B．2个 C．4个

D．6个

x2y24．（200 6天津）已知一条直线l与双曲线2?2?1（b?a?0）的两支分别相交于P、

abQ两点，O为原点，当OP?OQ时，双曲线的中心到直线l的距离d等于（A） ab A． B．2 222b?ab?aabb2?a2b2?a2C． D．

abab 1

5．(2005全国)方程

x2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是

（ ）

A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 解：?2?3??,?0??2?2?3??2??,?cos(?2)?cos(3?),即 222??sin2?sin3.

又0?2???22,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,

2?32?3?sin(?)??(?)2242?3?2?3????.?sin(?)?0,2424方程表示的曲线是椭圆.

?(sin2?sin3)?(cos2?cos3)?22sin?

?2?2?32?3??0,?sin?0,?2222?33?3??,??244?(?)式?0.即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。

6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是2,5?2，则

满足条件的直线L共有 条.（C ）

A．1 B．2 C．3 解: 由AB? D．4

5,分别以A，B为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三

1，3条共切线。正确答案为C。

27．（2006年浙江省预赛）设在xOy平面上，0?y?x，0?x?1所围成图形的面积为

则集合M?{(x,y)y?x?1},N?{(x,y)y?x2?1}的交集M?N所表示的图形面积为 （B）

A．

124 B． C．1 D．

333解： M?N在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此M?N的图形面积只

要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，M?N的图形在第一象限的面积为A＝面积为

111??. 因此M?N的图形2362. 所以选（B）。 3

二、填空题部分

2

x2y21．（200 6天津）已知椭圆2?2?1（a?b?0），长轴的两个端点为A、B，若椭圆

ab上存在点Q，使?AQB?120?，则该椭圆的离心率e的取值范围是

6?e?1 ． 3?y?0?2．（2006年江苏）已知?3x?y?0，则x2?y2的最大值是 9 ．

?x?3y?3?0?3．（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若

∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。

x2y2??1截4．（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆

2812(y?1)2?1 得线段的中点的轨迹方程为 2(x?)?225．(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作： 先从原点O沿正东偏北?（0????2y P(x,y) A ）方向行走一段时

间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.

假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟 时的可能落点区域的面积是 .

?O x 【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P(x, y). 设机器人改

变方向的点为A，OA?a，AP?b。则由已知条件有 a?b?2?10?20，以及

s?x?aco? ?.所以有

y?asin??b??x2?y2?a2?2absin??b2?(a?b)2?400 ??x?y?a(sin??cos?)?b?a?b?20即所求平面图形为弓形，其面积为100??200 平方米.

6．（2006年浙江省预赛）已知 A?(x,y)x2?y2?2xcos??2(1?sin?)(1?y)?0,??R,

??B??(x,y)y?kx?3,k?R?。若A?B为单元素集，则k??3.

3

解 由

x2?y2?2xcos??2(1?sin?)(1?y)?0?(x?cos?)2?(y?1?sin?)2?0?x?cos?,y?1?sin??x?(y?1)?122

A?B为单元素集，即直线y?kx?3与x2?(y?1)2?1相切，则k??3.

7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线

y?x2上.则该正方形面积的最小值为 80 .

解：设正方形的边AB在直线y?2x?17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y?2x?b,将直线l的方程与抛物线方

程联立，得x2?2x?b?x1,2?1?b?1.令正方形边长为a,则

a2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5(x1?x2)2?20(b?1).①

在y?2x?17上任取一点（6，,5），它到直线y?2x?b的距离为a,?a?|17?b|5②.

2①、②联立解得b1?3,b2?63.?a2?80,或a2?1280.?amin?80.

8．（2004 全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标为_______________.

解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，

3－a），则圆S的方程为：(x?a)?(y?3?a)?2(1?a).对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足

2222(1?a2)?(a?3)2,解得 a=1或a=－7。即对应的切点分别为P(1,0)和P'(?7,0)，而

过点M，N，p'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。 三、解答题部分

1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙

Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 解：以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，

点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x2?22=1+r。所

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