当前位置：首页 > 2020届湖南省五市十校高三上学期第二次联考（12月）数学（文）试题（解析版）
得2Tn?上式?下式得
1?22?3?23?L??2n?3??2n??2n?1??2n?1，
?Tn?21?2?22?2?23?L?2?2n??2n?1??2n?1?2?23?1?2n?1?1?2??2n?1??2n?1??3?2n??2n?1?6，
n?1因此，Tn??2n?3??2【点睛】
?6.
本题考查由前n项和Sn求数列通项an，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相
?S1,n?1nSaa?减法求和，在利用前项和n求数列通项n时，一般利用公式n?来
S?S,n?2n?1?n计算，但需对a1是否满足an?n?2?的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.
19．如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB?BC?1AD，?BAD??ABC?90?. 2
（1）证明：BC∥平面PAD；
（2）若四棱锥P?ABCD的体积为43，求?PCD的面积. 【答案】（1）见解析；（2）27
【解析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）取AD的中点M，连接PM，CM．证明CM⊥AD．再由已知证明PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，可得PM⊥CM，设BC?x，则AD?2x，CM?x，CD?2x，
14x，2取CD的中点N，连接PN，得PN⊥CD，且PN＝PM?3x，PC?PD?2x，
由四棱锥P?ABCD的体积为43，求得x＝2．进而得到?PCD的面积. 【详解】
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（1）在平面ABCD内，因为?BAD??ABC?90?，所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD. （2）取AD的中点M，连接PM，CM，由AB?BC?1AD，及BC∥AD，2?ABC?90?，
得四边形ABCM为正方形，则CM?AD，因为侧面PAD是等边三角形且垂直于底面ABCD，
平面PADI平面ABCD?AD，所以PM?AD，因为PM?平面PAD，所以PM?平面ABCD.
因为CM?平面ABCD，所以PM?CM.设BC?x，则AD?2x，CM?x，
CD?2x，PM?3x，PC?PD?2x.
因为四棱锥P?ABCD的体积为43，所以111V?SABCD?PM???x?2x?x?3x?43，所以x?2，
332取CD的中点N，连接PN，则PN?CD，所以PN?因此?PCD的面积S?14x?14. 211CD?PN??22?14?27. 22
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积和三角形面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线C:y?2px?p?0?，直线y?x?1与C相交所得的长为8．
2?1?求p的值；
?2?过原点O直线l与抛物线C交于M点，与直线x??1交于H点，过点H作y轴
的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点． 【答案】（1）2（2）见证明
【解析】?1?直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出p第 14 页 共 19 页
2的值；?2?由?1?可得y2?4x，设M?y0,y0?，求出点N的坐标，利用两点式可表
?1?4??示出直线MN的方程y?【详解】
4y0?x?1?，从而可求得直线过定点． 2y0?4?y2?2px2，消x可得y?2py?2p?0， ?1?由??y?x?1
?y1?y2?2p，y1y2??2p， ?弦长为1?12??y1?y?2?4y1y2?2?4p2?8p?8，
解得p?2或p??4(舍去)，
?p?2，
?2?由?1?可得y2?4x，
设M??12?y0,y0?， ?4?4x， y0?直线OM的方程y?当x??1时，
?yH??4， y042， y02代入抛物线方程y?4x，可得xN?第 15 页 共 19 页
?44??N?2,??，
?y0y0?8y04y0k???直线MN的斜率， 22y016y0?4?24y0y0?直线MN的方程为y?y0?故直线MN过点?1,0?． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于中档题．判断直线过定点主要形式有：（1）斜截式，y?kx?y0，直线过定点?0,y0?；（2）点斜式
4y04y0?12?y?x?y?x?1?， ，整理可得0??22y0?4y0?4?4?y?k?x?x0?,直线过定点?x0,0?.
21．已知函数f?x??e?cosx．
x（1）求f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）求证：f?x?在???????,???上仅有2个零点． ?2?【答案】（1）x?y?0；（2）证明见解析.
【解析】（1）求出f?0?和f??0?，然后利用点斜式写出所求切线的方程；
（2）利用当x?0时，ex?cosx来说明函数y?f?x?在?0,???上没有零点，并利???用函数y?f?x?的单调性和零点存在定理证明出函数y?f?x?在区间??,0?上有
?2?且只有一个零点，并结合f?0??0，可证明出函数y?f?x?在区间??个零点. 【详解】
???,???上有两?2?（1）Qf?x??e?cosx，则f??x??e?sinx，?f?0??0，f??0??1.
xx因此，函数y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程为y?x，即x?y?0； （2）当x?0时，ex?1?cosx，此时，f?x??e?cosx?0，所以，函数y?f?x?x??第 16 页 共 19 页
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