高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义：第二章+函数概念与基本初等函数I+第9讲+Word版含答案

故a＝2(负值舍去).

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点. 答案 (1)2 (2)(1，＋∞)

规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.在x轴上方，底数a越大，图象越靠近x轴.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是________(填序号).

1(2)(2018·宿迁模拟)当0

1?1?

(2)由题意得，当0

??

11

4的图象在函数y＝logax图象的下方.又当x＝2时，42＝2，即函数y＝4x的图象x

2?1??1?

过点?2，2?.把点?2，2?代入y＝logax，得a＝2.若函数y＝4x的图象在函数y＝

????2

logax图象的下方，则需2

当a>1时，不符合题意，舍去. ?2?

所以实数a的取值范围是?，1?.

?2??2?

答案 (1)③ (2)?，1?

?2?

考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度1 比较大小

【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷改编)若a>b>0，0cb. 其中正确的关系式是________(填序号).

解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，③，④不正确. ∵y＝logcx是减函数，得logca

lg clg c

logac＝lg a，logbc＝lg b，∵0＜c＜1，∴lg c＜0.而a＞b＞0，∴lg a＞lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，∴logac与logbc的大小不能确定，①不正确. 答案 ②

命题角度2 解不等式

【例3－2】 (江苏省淮阴中学2015～2016学年度第一学期期中考试)求不等式的解集：

1(1)33－x<2； (2)log5(x－1)<2. 解 (1)33－x<2，∴33－x<3log32，∴3－x3－log32，解集为(3－log32，＋∞).

1

(2)log5(x－1)<2，∴log5(x－1)

∴0

?1?

【例3－3】 (2018·仪征中学高三期初检测)已知a∈R，函数f(x)＝log2?x＋a?.

??(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；

(2)若关于x的方程f(x)＋log2x2＝0有且仅有一解，求a的值；

?1?

(3)设a>0，若对任意t∈?2，1?，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的

??差不超过1，求a的取值范围.

1?1?

解 (1)当a＝1时，由log2?x＋1?>1，得x＋1>2，

??解得0

?1??1?22

＋a??(2)log2x＋log2x＝0有且仅有一解，等价于?x＋a?x＝1有且仅有一解，等价????于ax2＋x－1＝0有且仅有一解. 当a＝0时，x＝1，符合题意；

1当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－4. 1

综上，a＝0或－4. (3)易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减.

故函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1).

?1??1?

则f(t)－f(t＋1)＝log2?t＋a?－log2?t＋1＋a?≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意

?????1?

t∈?2，1?成立. ??

?1?

因为a>0，所以函数y＝at＋(a＋1)t－1在区间?2，1?上单调递增，

??

2

131312

所以t＝2时，y有最小值，为4a－2，由4a－2≥0，得a≥3.故a的取值范围为?2??3，＋∞?. ??

规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上