高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用讲义：第二章+函数概念与基本初等函数I+第9讲+Word版含答案

流过多少汗，流下多少泪，只为高考这一天；付出多少时间，付出多少努力，只为高考这一刻；高考这条路就算布满荆棘也要披荆而过，请相信天道酬勤，请相信付出一定会有回报，对自己充满信心，加油，祝高考成功顺利。第9讲 对数与对数函数

考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用(B级要求)；2.对数函数的概念、图象与性质(B级要求)；3.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数(A级要求).

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.( )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( )

1＋x(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )

1－x(4)当x>1时，若logax>logbx，则a

(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x＞1时，logax＞logbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2

2.(2015·浙江卷)计算：log22＝________；2log23＋log43＝________. 211解析 log22＝log22－log22＝2－1＝－2； 2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log21

答案 －2 33

3.(2017·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为________.

解析 由题意可得－x2＋22>0，即－x2＋22∈(0，22]，故所求函数的值域为3??

?－∞，2?. ??3??

－∞，答案 ? 2???

4.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0，0

3＝33.

________.

解析 ∵0b>0，∴logca

5.(2017·徐州月考)函数y＝log0.5（4x－3）的定义域为________. 3

解析 由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得4

??

知 识 梳 理

1.对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； M

②logaN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

n

④logamMn＝mlogaM(m，n∈R，且m≠0). (3)对数的重要公式

logaN①换底公式：logbN＝logb(a，b均大于零且不等于1)；

a②logab＝

1

，推广logab·logbc·logcd＝logad. logba

3.对数函数的图象与性质

图象 a>1 01时，y>0； 当01时，y<0； 当00 在(0，＋∞)上是减函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

考点一 对数的运算

11

【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m＝________.

23

1

(2)(2018·淮阴中学期中)求值：273－(－125)2－2log23×log28＋log23×log34. (1)解析 由已知得a＝log2m，b＝log5m， 1111

则a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

25解得m＝10. 答案

10

23

1

(2)解 273－(－125)2－2log23×log28＋log23×log34 2

lg 32lg 2

＝(33)3－(－5)2－3×log22－3＋lg 2×lg 3 ＝9－25－3×(－3)＋2＝－5

规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

(3)ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

x

?2，x≥4，

【训练1】 (1)(2017·无锡期末)已知函数f(x)＝?则f(2＋log23)

f（x＋1），x<4，?

的值为________.

5?1?－1

(2)(2015·安徽卷)lg2＋2lg 2－?2?＝________.

??

解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.

5?1?－1(2)lg2＋2lg 2－?2?＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.

??答案 (1)24 (2)－1

考点二 对数函数的图象及应用

【例2】 (1)(2017·苏北三市第三次模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.

?log2x，x>0，(2)(2018·苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)＝?x且关于x的方程f(x)

3，x≤0，?＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 解析 (1)由题设可得

?x＝x，?x＝x，

化简可得x＝2，logx＝2，所以a＝2，?x－x＝2，即?x－x＝2，

?y－y＝2，?3logx－2logx＝2，

A

B

A

B

B

aB

2

CA

B

C

B

B

aA

aB

yC＝yB，logaxC＝2logaxB，