2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及答案

2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷

一 试

一、填空题（每题8分，满分64分） 1、随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子，在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是 。 2、关于x的方程x?2ax?a?4a?0有模为3的虚数根，则实数a的值是 。 3、已知正项数列?an?的首项为1，且对一切正整数n都有an(nan?an?1)?(n?1)a2n?1， 则数列的通项公式an= 。

4、设以F1(?1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点，F2为焦点的抛物线与椭圆 的一个交点为P。若

22PF1PF2?e，则e的值为 。

225、设实数a,b满足0?a,b?8，且b?16?a，则b?a的最大值与最小值之和是 。 6、函数f(x)?2cosx?sin2x?x?R?的值域是 。

7、正四棱锥P—ABCD外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱 锥的底面面积为 。

8、已知△ABC的外心为O，内心为I，∠B=45°.若OI∥BC，则cosC的值是 。 二、解答题（本题16分）

设等比数列a1,a2,?,ak和b1,b2,?,bk，记cn?an?bn,n?1,2,?,k。 ⑴写出一组a1,a2,a3和b1,b2,b3，使得c1,c2,c3是公差不为0的等差数列； ⑵当k?4时，求证：?cn?不可能为公差不为0的等差数列。

三、解答题（本题满分20分）

x2y2??1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:2718于A,B两点。试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l绕点F旋转时，都有PA?PB为定值。

四、解答题（本题满分20分）

设多项式f(x)?x?ax?bx?c，其中a,b,c是实数。若对于任意的非负实数x,y有

32f(x?y)?f(x)?f(y)，求a,b,c所满足的条件。

2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

加 试

一、（本题满分 40 分）

如图，E、F 分别是△ABC，△ACD 的内心，AC 平分∠BAD，AC 2 ＝AB · AD， 延长EC 交△CDF 的外接圆于点 K，延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R．若 RK∥EF， 求证：点 A 是△BCD的外心．

B

RE

A

C KF D

二、 （本题满分 40 分）

求所有的正整数 n，使得对于任意正实数 a、b、c 满足 a＋b＋c＝1，有abc(a n＋b n ＋c n )?

13n?2

三、 （本题满分 50 分）

设 n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组〈a， b， c〉 的个数： （1）ab＝n；（2）1?c?b；

（3）a、b、c 的最大公约数为 1．

四、 （本题满分 50 分）

设 a、b、c、d、e 为正实数，且 a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝2．若5个正三角形的面积分别为a2， b2，c2，d2，e2．求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为1的正三角形ABC．