高考数学一轮复习 第十章 计数原理 第2讲 排列与组合练习

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原

理 第2讲 排列与组合练习

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

1.(2016·成都质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( ) A.16种

B.36种

C.42种

D.60种

解析 法一(直接法) 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A4种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C3A4种方法.由分类加法计数原理知共A4＋C3A4＝60(种)方法.

法二(间接法) 先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共4－4＝64－4＝60(种). 答案 D

2.(2016·石家庄质检)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( ) A.34种

1

33

22

3

22

3

B.48种 C.96种 D.144种

24

解析 程序A有A2＝2(种)结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A2A4＝48(种)，∴由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96(种)方法. 答案 C

3.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A.18个

B.15个

C.12个

D.9个

解析 根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0，0，4)，(0，1，3)，(0，2，2)，(1，1，2)的所有排列，即共有3＋A3＋3＋3＝15(个). 答案 B

4.(2016·温州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A.18种

B.24种

123

3

C.36种 D.72种

223

解析 一个路口有3人的分配方法有C3C2A3(种)；两个路口各有2人的分配方法有C3C2A3(种).

∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C3C2A3＋C3C2A3＝36(种).

1

123

223

答案 C

5.(2016·山东师大附中一模)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为( ) A.360

B.520

C.600

34

D.720

解析 当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C5A4＝480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A5A3＝120，则不同的发言顺序的种数为480＋120＝600. 答案 C 二、填空题

6.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法.

解析 先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C6种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C6＝20(种). 答案 20

7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种. 解析 把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A4种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A4＝12(种).其中正确的有一种，所以错误的共A4－1＝12－1＝11(种). 答案 11

8.(2016·洛阳统考)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种.

解析 分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C4种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A3种.依分步乘法计数原理，共有N＝C4A3＝36(种). 答案 36 三、解答题

9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？ 解 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C4C12＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C12－3C4＝220－12＝208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种).

10.由1，2，3，4，5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…直到末项(第120项)是54 321.问：43 251是第几项？ 解 比43 251大的数有下列几类： ①万位数是5的有A4＝24个；

2

4

3

3

12

3

23

2

2

2

2

3

3

22

②万位数是4、千位数是5的有A3＝6个；

③万位数是4、千位数是3、百位数是5的有A2＝2个；所以比43 251大的数共有A4＋A3＋A2＝32个，

所以43 251是第120－32＝88项.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

11.(2016·潍坊二模)某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( ) A.6

B.12

11

3

2

2

4

3

3

C.24 D.36

解析 甲部门分一名电脑编程人员有C3C2·C3种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员有C3C2·C2种分配方案.∴由分类加法计数原理，共有C3C2·C3＋C3C2·C2＝12(种)不同方案. 答案 B

12.(2016·嘉兴模拟)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答). 解析 分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A4种分法；

第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C3A4种分法.总获奖情况共有A4＋C3A4＝60(种). 答案 60

13.(2016·太原二模)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).

解析 分两步：①任意选3个空排A、B、C，共有C6·C2·A2种排法.②排其余的3个字母，有A3种排法.所以由分步乘法计数原理，共有C6·C2·A2·A3＝480(种)排法. 答案 480

14.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？

解 (1)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法； 若分配到2所学校有C7×2＝42(种)； 若分配到3所学校有C7＝35(种). ∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.

3

32

3

3

1

2

3

3

1

2

22

3

22

3

21

2

11

3

21

2

法二 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C9＝84种不同方法. 所以名额分配的方法共有84种.

(2)①从集合B中取元素2时，确定C3A3个点.

②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C3×1＝C3. ③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C2A3个. ∴由分类加法计数原理，共确定C3A3＋C3＋C2A3＝33(个)不同点.

13

1

13

131

1

13

6

4