2006年四川省高考数学理科试卷

实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3；

（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：P?C??P?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3? ?P?AAA?3?128 ?0.9?0.??P0.?3AAA?123??P1A2A?A3??P1?A 2A3A0?.7 ?00?.9?0.2?0.7?0.?10.?8 ?0.90 2解法2：P?C??1?PC?1?PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3

?1??PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?

???????????????1??0.1?0.2?0.3?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.1?0.2?0.7?

?1?0.098?0.902

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902

（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D

P?D??P???A1?B1???A2?B2???A3?B3???

?P?A1?B1??P?A2?B2??P?A3?B3?

?P?A1??P?B1??P?A2??P?B2??P?A3??P?B3?

?0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9 ?0.254016 ?0.254

所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254

（19）（本大题满分12分）

如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E,P分别是BC,A1D1的

中点，M,N分别是AE,CD1的中点，AD?AA1?a,AB?2a （Ⅰ）求证：MN//面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P?AE?D的大小。 （Ⅲ）求三棱锥P?DEN的体积。

本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及

空间想象能力和推理能力。满分12分

解法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK

∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点

∵MK//AD,NK//DD1

∴MK//面ADD1A1，NK//面ADD1A1

（Ⅱ）设F为AD的中点

∴面MNK//面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1

∵P为A1D1的中点 ∴PF//D1D ∴PF?面ABCD

作FH?AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE?PH

从而?PHF为二面角P?AE?D的平面角。 在Rt?AEF中，AF?a2,EF?2a,AE?172aa，从而FH?AF?EF?2AE?2a172?a2a17

在Rt?PFH中，tan?PFH?PFFH?DD1FH?172

故：二面角P?AE?D的大小为arctan17 2 （Ⅲ）S?NEP?12S矩形ECDP?114BC?CD1?14?a?a?4a?2254a

2作DQ?CD1，交CD1于Q，由A1D1?面CDD1C1得A1C1?DQ ∴DQ?面BCD1A1 ∴在Rt?CDD1中，DQ?CD?DD1CD1?2a?a5a5?2525a

∴VP?DEN?VD?ENP?13S?NEP?DQ?134a?2a?16a

3方法二：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则

A?a,0,0?,B?a,2a,0?,C?0,2a,0?,A1?a,0,a?,D1?0,0,a?

∵E,P,M,N分别是BC,A1D1,AE,CD1的中点 ∴E??a??a??3a?,2a,0?,P?,0,a?,M?,a,0?,N?2??2??4?a?0,a,?2???, ?（Ⅰ）MN??????????34a,0,a?? 2??? 取n??0,1,0?，显然n?面ADD1A1

???????????? MN?n?0，∴MN?n

又MN?面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1

（Ⅱ）过P作PH?AE，交AE于H，取AD的中点F，则F?a??a? 设H?x,y,0?，则HP???x,?y,a,HF?????x,?y,0??2??2??????????a?,0,0?∵ ?2?又AE?????????a?,2a,0? 2??a2a??????????x?2ay?0 由AP?AE?0，及H在直线AE上，可得: ?2?4??4x?y?4a解得x?3334a,y?217a

?????????????????????8a2a2a???????8a∴HP???,?,a?,HF???,?,0? ∴HF?AE?0 即HF?AE

17171717????????????∴HP与HF所夹的角等于二面角P?AE?D的大小 ????????????????HP?HFcosHP,HF??????????HP?HF221

故：二面角P?AE?D的大小为arccos22121

??????????????（Ⅲ）设n1??x1,y1,z1?为平面DEN的法向量，则n1?DE,n1?DN

又DE??????a??????,2a,0?,DN??0,a,2?2???a??????a??,DP??,0,a? ??2??ax1?2ay1?0????x1??4y1?2 ∴? 即 ? ∴可取n1??4,?1,2?

z??2ya?11?2y?z?011??2??????DP?n1 ∴P点到平面DEN的距离为d????n1????????????????DE?DN8 ∵cosDE,DN??????????， sin85DE?DN????????1????????DE?DN?sinDE,DN?2131321822a?2a16?1?4?4a212185

????????DE,DN?

∴S?DEN?218a

2 ∴VP?DEN?S?DEN?d??a?4a21?a36

（20）（本大题满分12分）

已知数列?an?，其中a1?1,a2?3,2an?an?1?an?1?n?2?，记数列?an?的前n项和为Sn，数列?lnSn?的前n项和为Un （Ⅰ）求Un； （Ⅱ）设Fn?x??eUn22n?n!?x2n?x?0?,Tn?x???Fk'?x?，（其中Fk?x?为Fk?x?的导

'nk?1函数），计算lim

Tn?x?Tn?1?x?

n??本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运

算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。

解：（Ⅰ）由题意，?an?是首项为1，公差为2的等差数列 前n项和Sn?1?1?2?n?1?22?n?n，lnSn?lnn?2lnn

2Un?2?ln1?ln2???lnn??2ln?n!?

（Ⅱ）Fn?x??eUn22n?n!??x2n??n!?22n?n!?2?x2n?x2n2n Fn?x??x'2n?1

nnTn?x???k?1Fk'?x???xk?12k?1?x?1?x2n???0?x?1?21?x? ???n?x?1??2n?x?1?x??x?1?2?1?x?