4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4.2单位圆与周期性 Word练习题含答案

§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4．2 单位圆与周期性

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1．问题导航

(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？ (2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？ (3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？ 2．例题导读 2．例题导读

P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值． 试一试：教材P23习题1－4 A组T1你会吗？

P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．

试一试：教材P17练习T4你会吗？ 1．任意角的正弦、余弦函数的定义

如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α．

对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．

2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 第一象三角函数 限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 注：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中． 3．终边相同的角的正、余弦函数 (1)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z； cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.

(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等． 4．周期函数

(1)定义：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．

(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π. 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )

(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y＝sin x的一个周期．( ) (4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．( )

解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．

(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．

(4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

22

2．若角α的终边与单位圆相交于点?，－?，则sin α的值为( )

2??2

22A. B．－ 2211C. D．－ 22

22

解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点?，－?到原点的距离为1，则sin

2??2

2－22

α＝1＝－2，故选B.

3．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)

1．对正弦函数、余弦函数定义的理解

(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．

(2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即

实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v――→正弦

实数α(弧度)对应于点P的横坐标u――→余弦

(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．

对应

对应

(4)sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展

上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，如下图，

yyx

那么，比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝；比值叫作α的余弦，记作cos

rrrx

α，即cos α＝. r

3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值

利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表： 函数名称 正弦函数 余弦函数 终边位置 0 1 x轴正半轴 0 x轴负半轴 －1 1 0 y轴正半轴 0 y轴负半轴 －1 4.对周期函数的概念的理解 (1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．

(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那T就不是函数f(x)的周期．

(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k－1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．

(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．

利用正、余弦函数的定义求值

已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． (链接教材P15例1)

[解] 法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，

5y0＝2x0，?x＝，0?225

则?x0＋y0＝1，解得

25?y0＝，?x0≥0，5

25525?即P?，，所以sin α＝y0＝，

55??5

5

cos α＝x0＝.

5

法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0. 因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a，

y2a25xa5

所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.

r5r5a5a5

?

??

本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“ 角α的

终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？

解：(1)若α终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a，

y2a25xa5

所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.

r5r5a5a5

(2)若α终边在第三象限内，设点P(a，2a)(a<0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝－5a(a<0)，

y2a25所以sin α＝＝＝－，

r－5a5

xa5

cos α＝＝＝－.

r－5a5

方法归纳

求任意角的三角函数值的两种方法

方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．

方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点不重合)； 第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2(r>0)；

yx

第三步，求值：由sin α＝，cos α＝求值．

rr

1．(1)设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )

22A．－ B．

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