矩阵的秩的求法- 论文大赛

矩阵的秩的求法

作者-陈露 通化市靖宇中学

摘 要：本文通过矩阵的秩的定义及相关结论给出了矩阵的秩的几种求法.数值

算例说明了所给方法的有效性.

关键词：矩阵，矩阵的秩，行向量组，列向量组.

矩阵论是高等代数的重要内容，矩阵是处理高等代数问题的主要工具.而矩 阵的秩是十分抽象的概念，它在高等代数中起着重要作用.本文对矩阵的秩的求 法进行了总结.

一 关于矩阵的秩的基本理论

定义1 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩. 定义2 矩阵的行向量组的秩称为行秩，矩阵的列向量组的秩称为列秩. 我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递性可知， 任意两个等价向量组的极大无关组也等价，所以等价的向量组必有相同的秩，因 此，我们有

定理1 矩阵的行秩与列秩相等.

定义3 矩阵A的行秩与列秩统称为矩阵的秩.

定理2 一个矩阵的秩是r的充分必要条件是矩阵中有一个r级子式不为零， 同时所有r?1级子式全为零.

由这个定理我们可以得到矩阵的秩的另一个定义，即：

定义4 矩阵A中非零子式的最高阶数叫做矩阵A的秩，记作R(A).

定理3 n阶方阵A的特征值全不为零?R(A)?n(即方阵A为可逆矩阵). 证明：设n阶方阵A的特征值为?1,?2,…,?n,则有：?1?2??n?|A|.于是命 题得证.

事实上，设数?和非零向量X，使AX??X成立?齐次线性方程组

（?I?A）X?0.有非零解?系数行列式|?I?A|?0,由于|?I?A|是关于?的n次多项式，不妨设

f(?)?|?I?A|??n?a1?n?1???an?1??an （1） 由题设知：

f(?)?(???1)(???2)?(???n)

??n?(?1??2????n)?n?1???(?1)n?1?2??n 比较上述多项式同次幂系数知：

an?(?1)n?1?2??n （2） 又在（1）中若令??0，则

f(0)?|A|?(?1)n|A|?an （3）

比较（2）（3）可得：|A|??1?2??n

故方阵A的特征值不为零??1?2??n?|A|?0?R?A??n 证毕. 二 矩阵的秩的几种求法

矩阵的秩，从定义上看，它就是一个数，可是这个数却是高等代数的基础， 它的求法不止一种.在这里分别给出了定义法，初等变换法，特征值法.下面 就对这几种方法分别举例说明. 1.定义法

由矩阵的秩的定义知，求出矩阵行秩或列秩即为矩阵的秩.

?1??0例1 求矩阵A??0??0?解 A的行向量组是

132?100001??4?的秩. 5??0??，?2?（0，2，-1，4）， ?1?（1，1，3，1）

，?4?（0，0，0，0）， ?4?（0，0，0，5）

可以证明?1,?2,?3是向量组?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，事实上，由 k1?1?k2?2?k3?3?0 即

k1（1，1，3，1）+k2（0，2，-1，4）+k3（0，0，0，5） =（k1,k?2k2,3k1?k2,k1?4k2?5k3）=（0，0，0，0）

可得k1?k2?k3?0，这就证明了?1,?2,?3线性无关，因为?4是零向量，所以把

?4添进去就线性相关了，因此，向量组?1,?2,?3,?4的秩为3，也就是说，矩阵

A的秩为3.

2 初等变换法（包括初等行变换和初等列变换）

作为解线性方程组的一个方法，我们对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形，实际上，这也是计算矩阵的秩的一个常用方法.

首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.我们知道，等价的向量组有相同的秩.因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样的，初等列变换也不改变矩阵的秩.

其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目，为了证明这个结论，只要证明在阶梯形矩阵中那些非零的行线性无关就行了.设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r，因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当变换列的顺序， 不妨设

?a11??0?? A??0?0????0a12a22?00?0?a1r?a2r?arr?0?0?a1n???a2n?????arn? ?0??????0?其中aii?0,i?1,2,?,r.显然，A的左上角的r级子式

a11a12a22?0?a1r?a2r???arr?a11a12?arr?0

0?0因此，A的秩为r.

上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩只要用初等变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.

易知，矩阵

?1??0A??0??0?的秩就是3.

例2 求线性方程组

132?100001??4? ?5?0???x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?c?12345 ?

?x1?2x2?2x3?2x4?6x5?3??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?d的系数矩阵的秩.

解 对系数矩阵A作初等行变换：

?1??3A??1??5??11??00??01??00?111212243110022001??1??1?3??0?26??0???3?1???01??11??0??01?6??00???0???001???1?2?2?6?1226???1?2?2?6??

111??226?000??000??111则R(A)?2.

?a11??1a1 例3 求矩阵的秩，设A?????111? 解：由于|A|?(a?1)n?1(a?n?1), 故（1）当a?1,1?n时，R(A)?n;

?1???1?,求R(A). ????a?? （2）当a?1时，由初等变换可知R(A)?1；

（3）当a?1?n时，|A|?0，在n?1时，它有n?1阶子式

a?1??(a?1)n?2(a?n?2)?0?R(A)?n?1. ?1?a 3 特征值法

若所求矩阵的特征值全不为零，则矩阵的秩为n. 例4 已知矩阵

?122??? A??212?,其中?1是A的二重特征根，求A的秩.

?222???解 易知A的迹为3，于是??3?2?(?1)?5是A的特征值，即A的特征值均不为零，故A的秩等于3.

在二次型f(x)?X'AX中，把二次型所对应的对应矩阵A的秩定义为该二次型的秩，这时R(A)所刻划的则是二次型的标准形中所含平方项的个数.虽然，任意一个实二次型总能通过不同的变换将其化为不同的标准型，但是其任何一个标准型中所含平方项的个数都是相同的，这个不变的个数恰好就是R(A).

三 结语

本文基于矩阵的秩的基本理论，对矩阵的秩的求法进行了总结，在具体求解过程中，要灵活运用上述方法.

[参考文献]

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等代数 北京：高等教育出版社 2001

[2] 戴红霞 关于矩阵的秩的例题教学 江苏 南京：南京审计学院学报 2005

[3] 罗雪梅 孟艳双 郑艳琳 浅析矩阵的秩 济南：高等数学研究 2003