高中数学 第二章 圆锥曲线 2_1 椭圆复习学案 新人教A版选修1-1

2.1 椭圆

自主复习

考点清单： 椭圆的定义及其应用 求椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系

考点详情：

重点一：椭圆的定义及其应用

1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.

2．椭圆的定义式必须满足2a＞F1F2时，动点的轨迹是线段F1F2；当1F2.当到两定点的距离之和等于F到两定点的距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在． 例题：

1．在△ABC中,∠A=90°,tanB?3.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=________. 4

【答案】

1 23c5c2c1?. ,BC?,则AC+BC=4c,由椭圆定义及离心率定义得e?224c2【解析】设AB=2c,由题意得AC?

x2y22．在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆??1上,则

259sinA?sinC=________.

sinB5【答案】

4

名师导学：

1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F1F2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.

2．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正

2a，得到a，c的关系．若?F1PF2＝?，注意对?F1PF2的处理方法通 弦定理、余弦定理、PF1＋PF2＝?22?（|PF|+|PF|）?(2a)?定义式的平方12??222(2c)?|PF||PF||PF2|cos?. 常是运用?余弦定理??1+|PF2|?21??面积公式?1??S??|PF||PF2|sin?1??2

重点二：求椭圆的标准方程

1．直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，按标准方程写出方程，其中难点是确定a，b的值．

2．待定系数法：除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．

x2y2当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为?=1 (m＞0，n＞0且m?n)，可

mn以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．

例题：已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于

1,则C的方程是( ) 2

x2y2A. ??1

34x2y2??1 B. 43

x2y2C. ??1

42x2y2D. ??1

43【答案】D

c1x2y2222

【解析】由右焦点F(1,0)可知c=1,而离心率e??,则a=2,b=a－c=3,故椭圆方程为??1.

a243名师导学：

1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．

(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1 (m＞0，n＞0且m?n)． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组． (4)求解，得方程．

x2y2x2y22．(1)方程2+2=1与2+2=?(?>0)有相同的离心率．

ababx2y2x2y2(2)与椭圆2+2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为2+2=1(a>b>0,b2?k?0)，恰当运用椭

aba?kb?k圆系方程，可使运算简便．

重点三：椭圆的几何性质

1．椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．

2．在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根. 3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.

x2y2例题：已知O为坐标原点,F是椭圆C:2?2?1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一

ab点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )

A.

1123 B. C. D. 3234

【答案】A 【解析】

名师导学：

1．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要

a2深刻理解椭圆中的几何量a,b,c,e,等之间的关系，并能熟练地应用．

c2．求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 重点四：直线与椭圆的位置关系

1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然