最新人教版高中数学必修5第一章《应用举例》教材习题点拨

教材习题点拨

练习(1)

1.解:在△ABS中,AB=32.2×0.5=16.1 n mile,∠ABS=115°. 根据正弦定理,

ASAB, ?sin?ABSsin(65??20?)AS=

AB?sin?ABS=AB×sin∠ABS×2=16.1×sin115°×2.

sin(65??20?)S到直线AB的距离是

d=AS×sin20°=16.1×sin115°×2×sin20°≈7.06(n mile). 所以这艘船可以继续沿正北方向航行.

点拨:分析△ABS的边角关系,可以选择正弦定理求边AS,然后与S到直线AB的距离作比较. 2.答案:顶杆的长约为1.89 m. 练习(2)

1.证明:在△ABP中,∠ABP=180°－γ＋β,

∠BPA=180°－(α－β)－∠ABP=180°－(α－β)－(180°－γ＋β)=γ－α. 在△ABP中,根据正弦定理得

APAB?,

sin?ABPsin?APBAPa?,

sin(180?　????)sin(???)AP=

asin(???).

sin(???)asin?sin(???).

sin(???)所以山高为h=AP×sinα=

点拨:分析△ABP的边角关系,可以选择正弦定理求得边AP,再解Rt△PAQ即可得边PQ. 2.解:在△ABC中,AC=65.3 m,∠BAC=α－β=25°25′－17°38′=7°47′, ∠ABC=90°－α=90°－25°25′=64°35′. 根据正弦定理,得

ACBC?,

sin?ABCsin?BAC

BC=

AC?sin?BAC65　.3sin7?47??≈9.8(m),

sin?ABCsin64?35?∴井架的高约为9.8 m.

点拨:求边BC可以解△ABC,因为可以知道其中的两个角和一边,故选择正弦定理.

3.解:设29°的观测点为A,38°的观测点为B,山顶为C,过C作地平线的垂线,垂足是D,要求h可以解Rt△DBC,但是需要先知道边BC,而BC可以解△ABC得到. 山的高度为

200?sin38?sin29?≈381.5 m.

sin9?点拨:在△ABC中,根据正弦定理先求出边BC,然后在△BCD中求CD的长,即山的高度. 练习(3) 答案:约63.7°.

点拨:可以直接代入余弦定理求角. 练习(4)

1.答案:(1)约168.52 cm2；(2)约121.75 cm2;(3)约425.39 cm2.

点拨:(1)直接代入三角形面积公式；(2)根据正弦定理先求出一边,再代入三角形面积公式；(3)先由余弦定理求出一角,再利用面积公式求解. 2.答案:约4 476.40 m2.

点拨:先将四边形分割为两个三角形,第一个已知两边和夹角,容易求其面积,第二个三角形已知一边,需要先求另一边和一角再求面积.

a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3.证明:右边=bcosC＋ccosB=b×

2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2???a?左边. =

2a2a2a类似可以证明另外两个等式.

点拨:可以利用正弦定理和余弦定理化边为角,再进行三角变换可证明,也可以考虑用两定理化角为边.本题的结论称为射影定理. 习题1.2

A组

1.解:在△ABC中,BC=35×0.5=17.5 n mile,∠ABC=148°－126°=22°, ∠ACB=78°＋(180°－148°)=110°,∠BAC=180°－110°－22°=48°,

ACBC?,

sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.5?sin22??AC=≈8.82(n mile).

sin?BACsin48?根据正弦定理,得

货轮到达C点时与灯塔A的距离约是8.82 n mile.

点拨:分析△ABC,已知两角和一边,可以选择正弦定理求另一边. 2.答案:70 n mile.

点拨:可以直接代入余弦定理求解.

3.解:在△BCD中,∠BCD=30°＋10°=40°, ∠BDC=180°－∠ADB=180°－45°－10°=125°,

1=10(n mile). 3CDBD?根据正弦定理,得,

sin?CBDsin?BCDCD=30×

10BD?,

sin(108??40??125?)sin40?BD=

10?sin40?.

sin15?在△ABD中,∠ADB=45°＋10°=55°, ∠BAD=180°－60°－10°=110°, ∠ABD=180°－110°－55°=15°.

ADBDAB??,

sin?ABDsin?BADsin?ADBADBDAB??就是,

sin15?sin110?sin55?BD?sin15?10?sin40??AD=≈6.84( n mile),

sin110?sin70?BD?sin55?10?sin40??sin55??AB=≈21.65(n mile).

sin110?sin15??sin70?根据正弦定理,得

如果一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为 20＋

AD?AB6.84?21.65×60＋10≈30＋×60≈86.98(min), 3030即约1小时26分59秒,所以此船约在11 时27分到达B岛.

点拨:BD作为△ABD与△BCD的公共边,起着一个很好的纽带作用,先在△BCD中利用正弦定理求得BD的长,再在△ABD中据正弦定理求得AD,AB的长,最后根据航行的速度求得所用的时间.注意时间单位的统一.

4.答案:约5 821.71 m.

点拨:设飞机所在位置为A,过A向地面作垂线,垂足为B,在Rt△ABP与Rt△ABQ中可以分别计算出BQ,BP的值,则PQ=BQ－BP.

5.解:在△ABC中,AB=700 km,∠ACB=180°－21°－35°=124°,

700ACBC??,

sin124?sin35?sin21?700?sin35?700?sin21?AC=,BC=,

sin124?sin124?700?sin35?700?sin21?AC＋BC=＋≈786.89(km).

sin124?sin124?根据正弦定理,得

所以路程比原来远了约86.89 km.

6.答案:飞机离A处探照灯的距离是4 801.53 m,飞机离B处探照灯的距离是4 704.21 m,飞机的高度约是4 574.23 m.

点拨:利用正弦定理可以求得飞机离A,B两点的距离,过飞机向地面作垂线,可以利用直角三角形计算出飞机的高度.

7.解:飞机在150秒内飞行的距离是d=1 000×1 000×

150 m. 3600根据正弦定理,得

dx?,

sin(81??18.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81°时飞机与山顶的距离.飞机与山顶的海拔的差是x×sin81°=

d?sin18.5??sin81?≈14 717(m),山顶的海拔是20 250－14 717≈5 533(m).

sin(81??18.5?)点拨:计算山顶的海拔实际上就是计算飞机与山顶的距离.

8.解:在△ABT中,∠ATB=21.4°－18.6°=2.8°,∠ABT=90°＋18.6°=108.6°,AB=15 m.

ABAT?,

sin2.8?cos18.6?15?cos18.6?AT=,

sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT×sin21.4°=×sin21.4°≈106.2(m).

sin2.8?根据正弦定理,得

点拨:先求出AT,然后在直角三角形中求出塔的高度. 9.解:设飞机在E处接到命令如下图,