数学人教版选修1-2第二章推理与证明教辅资料

2.2.2反证法

典型例题

例1（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）

( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 （2）已知p?q＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是

（ ）

（A）一定不大于2 （B）一定不大于22 （C）一定不小于22 （D）一定不小于2 解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A） 例2 用反证法证明命题“如果a?b,那么3a?解析 用反证法可得应填

3333b”时，假设的内容应为_____________.

a?3b或3a?3b

2an(n?1,2,?，)

1?an例3 若a1?0、a1?1，an?1?(1)求证：an?1?an； (2)令a1?1，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an； 2an(3)证明：存在不等于零的常数p，使{an?p}是等比数列，并求出公比q的值.

1. 解：（1）（采用反证法）. 若an?1?an，即2an?an, 解得 an?0，1?an从而an?an?1????a2?a1?0,1与题设a1?0,a1?1相矛盾， 故an?1?an成立.

12n?1. (2) a1?、a2?2、a3?4、a4?8、a5?16, an?n2917532?1?1（3）因为an?1?p?(2?p)an?p 又an?1?p?an?p?q,

an?12anan?1an所以(2?p?2q)an?p(1?2q)?0, 因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q?1、

p??1 2练习

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )

（A）有一个解 （B）有两个解 （C）至少有三个解 （D）至少有两个解 2．设a,b,c大于0，则3个数：a?111，b?，c?的值 ( ) bca（A）都大于2 （B）至少有一个不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一个不小于2

3．已知α∩β＝l，a?α、b?β，若a、b为异面直线，则 ( ) （A） a、b都与l相交 （B） a、b中至少一条与l相交 （C） a、b中至多有一条与l相交

（D） a、b都与l相交

二、填空题

4．用反证法证明“f(x)?x?px?q，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于时的假设为

5．用反证法证明“若a?b＞0，则

21”211?2?a??2?b”时的假设为 ab

三、解答题

6．证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.

7．对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

推理与证明测试题

一、选择题（每题5分，共50分）

1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是（ ）。 A．10;

n

B．10;

n-1

C．10;

n+1

D．11.

n

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 A．①；

B．①②；

C．①②③；

D．③。

3、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将

此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 ( )

(A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 4、、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值是( ) 1 2 1 a b c 0.5 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5、设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn?S1?S2?n?Sn，称Tn为数列a1，a2，……，

an的“理想数”，已知数列a1，a2，……，a500的“理想数”为2004，那么数列2， a1，a2，……，a500的“理想数”为（ ）

A 、2008 B、 2004 C、 2002 D 、2000

6、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0 ～9和字母A ～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

十六进制 0 十进制 十进制 0 8 十六进制 8 1 1 9 9 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15 例如，用十六进制表示E+D=1B,则A?B?（ ） A 6E B 72 C 5F D B0

7、若数列?an?的前8项的值各异，且an?8?an对任意的n?N?都成立，则下列数列中，可取遍?an?的前8项值的数列是（ ）

A ?a2k?1? B ?a3k?1? C ?a4k?1? D ?a6k?1?

??1，x≠12

8、设定义域为R的函数f(x)＝?|x－1|，若关于x的方程f(x)＋bf(x)＋c＝0有3

?，x＝1?1

222个不同的实数解x1、x2、x3，则x1?x2?x3等于（ ）