数学人教版选修1-2第二章推理与证明教辅资料

第二章 推理与证明

2．1 合情推理与演绎推理

2．1．1 合情推理

典型例题

例1 观察下列数的特点

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是( ) （A） 10 （B） 13 （C） 14 （D） 100 解析 由规律可得:数字相同的数依次个数为

1,2,3,4,… n 由

n(n?1)≤100 n ∈N* 得,n=14,所以应选（C） 2例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。

解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补

例3、观察以下各等式：

3 43sin2200?cos2500?sin200cos500?

43sin2150?cos2450?sin150cos450?，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般

4sin2300?cos2600?sin300cos600?规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

解析 猜想：sin2??cos2(??300)?sin?cos(??300)?22003。 证明 41?cos2?1?cos(600?2?)sin(300?2?)?sin300 sin??cos(??30)?sin?cos(??30)???222cos(600?2?)?cos2?11?1??[sin(300?2?)?]222?2sin(300?2?)sin30011?1??[sin(300?2?)?]

2223113??sin(300?2?)?sin(300?2?)? 4224练习

一、选择题

1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( ) (A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.

222

2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）

(A)AB+AC+ AD=BC+ CD+ BD

2222(C)S?ABC?S?ACD?S?ADB?S?BCD

22222 2

(B)S22

?ABC?S2?ACD?S2?ADB?S2?BCD

2

2

2

2

2

(D)AB×AC×AD=BC ×CD ×BD

2f(x),f(1)?1 ，猜想f(x）的表达式为 ( ) （x?N*）f(x)?24212A.f(x)?x B.f(x)? C.f(x)? D.f(x)?

2?2x?1x?12x?13、已知f(x?1)?

二、填空题

4、依次有下列等式：1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5，按此规律下去，第8个等式为 。

5、（2000年上海卷）在等差数列?an?中，若a10?0，则有等式

222a1?a2?????an?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，类比上述性质，相应地：在

等比数列?bn?中，若b9?1，则有等式 成立.

三、解答题

6 （2004年上海春招高考题）在?DEF中有余弦定理：

DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出

斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

7、已知数列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首项为1，公差为1的等差数列；

a10,a11,?,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,?,a30是公差为d2的等差数列（d?0）.

（1）若a20?40，求d；

（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a30,a31,?,a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

2．1．2演绎推理 典行例题

例1 （1） 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边

形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 （ ） (A) 正方形的对角线相等 (B) 平行四边形的对角线相等 (C) 正方形是平行四边形 (D)其它 （2）下列表述正确的是（ ）。

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 （A）①②③；

（B）②③④；

（C）②④⑤；

（D）①③⑤。

（3） 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为（ ）。

（A）大前提错误 （B）小前提错误 （C）推理形式错误 （D）非以上错误 （4） 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b??平面?，直线a?平面?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，

?这是因为 （ ）。

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 （1）选（A） （2）选（D） （3）选（A） （4）选（A） 例2 （1）在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。 （2）用演绎法证明y=x是增函数时的大前提是 。

答案 （1）大前提和推理过程 （2）增函数的定义 例3 如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。

2

证明：如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC， ∴AE⊥BC.

又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，

∵SA?AE=A，SA?平面SAB，AE?平面SAB， ∴BC⊥平面SAB， ∴AB⊥BC.

SEACB练习

一、选择题

1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。

小王说：“我肯定考上重点大学。” 小刘说：“重点大学我是考不上了。”

小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”

发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（ ）

（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学 （B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学 （C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学 （D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上

2、已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m ∥β，给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l⊥m； （2）若l⊥m，则α∥β； （3）若α⊥β，则l∥m； （4）若l∥m，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3、给出下列三个命题：①若a?b??1,则则m(n?m)?ab；②若正整数m和n满足m?n，?1?a1?bn22；③设P(x1,y1)为圆O1:x?y?9上任意一点，圆O2以Q(a,b)为222圆心且半径为1。当(a?x1)?(b?y1)?1时，圆O1与圆O2相切。 其中假命题的个数是（ ） ．．．

（A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3

二、填空题 4、设函数f(x)?12?2x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求

得f(?5)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值为 .