2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元测试2 北师大版选修1-1

. ∴|MF2|有最小值2－3. x2y220．(本小题满分13分)如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，Bab是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．

1

解：(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. 2

2222

(2)法一：a＝4c，b＝3c，

直线AB的方程为y＝－3(x－c)，

33??8222

将其代入椭圆方程3x＋4y＝12c，得B?c，－c?，

5??5

?8?16

所以|AB|＝1＋3·?c－0?＝c.

?5?511163232

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a＝403，

22525

解得a＝10，b＝53.

法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，

8222

再由余弦定理(3a－t)＝a＋t－2atcos 60°可得，t＝a.

5183232

由S△AF1B＝a·a·＝a＝403知，a＝10，b＝53.

2525

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