2018版高中数学选修1-1学案（打包24份） 人教课标版23（新教案）

．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δ→的方式，导数是函数的增量Δ与自变量的增量Δ的比的极限， 即＝.

函数＝()在点处的导数的几何意义，就是曲线＝()在点(，())处的切线的斜率． ．曲线的切线方程

利用导数求曲线过点的切线方程时应注意： ()判断点是否在曲线上；

()如果曲线＝()在(，())处的切线平行于轴(此时导数不存在)，可得方程为＝；点坐标适合切线方程，点处的切线斜率为′()．

．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． ．判断函数的单调性

()在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

()注意在某一区间内′()＞(或′()＜)是函数()在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件． ．利用导数研究函数的极值要注意

()极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．

()连续函数()在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．

()可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

．求函数的最大值与最小值

()函数的最大值与最小值：在闭区间[，]上连续的函数()，在[，]上必有最大值与最小值；但在开区间(，)内连续的函数()不一定有最大值与最小值，例如：()＝，∈(－)． ()求函数最值的步骤

一般地，求函数＝()在[，]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数＝()在(，)内的极值及端点处的函数值()，()；

②将函数＝()的各极值与端点处的函数值()，()比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点，则()是函数的最值.

题型一应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．

例已知函数()＝－(∈)．

()当＝时，求曲线＝()在点(，())处的切线方程； ()求函数()的极值．

解函数()的定义域为(，＋∞)，′()＝－. ()当＝时，()＝－，′()＝－(>),

∴()＝，′()＝－,

∴＝()在点(，())处的切线方程为－＝－(－), 即＋－＝. ()由′()＝－＝，>知：

①当≤时，′()>，函数()为(，＋∞)上的增函数，函数()无极值； ②当>时，由′()＝，解得＝;

∵∈(，)时，′()<，∈(，＋∞)时，′()>

∴()在＝处取得极小值，且极小值为()＝－，无极大值．

综上，当≤时，函数()无极值；当>时，函数()在＝处取得极小值－，无极大值．

跟踪演练点()是函数()＝＋与()＝＋的图象的一个公共点，且两条曲线在点处有相同的切线，求，，的值．

解因为点()是函数()＝＋与()＝＋的图象的一个公共点，所以＋＝① ＋＝②

由①得＝－.所以()＝－.

又因为两条曲线在点处有相同的切线， 所以′()＝′()， 而由′()＝－得到′()＝， 由′()＝得到′()＝，

所以＝，即＝，代入②得到＝－. 综上所述，＝－，＝，＝－. 题型二应用导数求函数的单调区间

在区间(，)内，如果′()>，那么函数＝()在区间(，)内单调递增；在区间(，)内，如果′()<，那么函数＝()在区间(，)内单调递减． 例已知函数()＝－＋(－)，＞.讨论()的单调性． 解由题知，()的定义域是(，＋∞)， ′()＝＋－＝.

设()＝－＋，二次方程()＝的判别式Δ＝－.

①当Δ＜即＜＜时，对一切＞都有′()＞.此时()是(，＋∞)上的增函数．

②当Δ＝即＝时，仅对＝，有′()＝，对其余的＞都有′()＞.此时()也是(，＋∞)上的增函数． ③当Δ＞即＞时，方程()＝有两个不同的实根 ＝，＝，＜＜.

当变化时，′()、()的变化情况如下表： ′() () 此时()在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增．

跟踪演练求下列函数的单调区间： ()()＝(－)，∈(，＋∞)； ()()＝(－).

解 ()′()＝(－)′＋(－)()′＝(－)， 令′()＞，解得＞，又∈(，＋∞)， 所以函数的单调增区间(，＋∞)， 函数的单调减区间()，

()函数()＝(－)＝－＋的定义域为， 由′()＝－＋＝， 得＝，＝. ①当>时，<.

∴函数()的单调递增区间为，(，＋∞)， 单调递减区间为. ②当<时，>，

∴函数()的单调递增区间为(－∞，)，， 单调递减区间为.

③当＝时，′()＝≥，∴函数()的单调区间为(－∞，＋∞)，即()在上是递增的． 综上，>时，函数()的单调递增区间为，(，＋∞)，单调递减区间为. <时，函数()的单调递增区间为(－∞，)，，单调递减区间为. ＝时，函数()的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三利用导数求函数的极值和最值 ．利用导数求函数极值的一般步骤 ()确定函数()的定义域；

(，) ＋ ↗ 极大值 (，) － ↘ 极小值 (，＋∞) ＋ ↗