2013大连理工大学数学科学学院复试笔试B卷试题（回忆版）

实变泛函（60，每题15分）

1. 假定m(E)??,fn,gn是定义在E上的函数列，分别依测度收敛于f,g.证fngn依测度收

敛于fg。

2. 叙述控制收敛定理，并利用该定理证明lim3. (1)叙述Banach空间定义。

(2)f?C[a,b],证明||f||?max|f(x)|是范数，并证明C[a,b]在此范数下成为Banach

x?[a,b]n??1??n2xen2x2(1?x)2dx?0

空间。 (3)证明||f||??ba|f(x)|dx是范数但C[a,b]在此范数下不是Banach空间。

4.设X?C[0,1],Y?{f?C1[0,1]:f(0)?0}定义算子A：X?Y如下

Af(t)??f(s)ds,f?X，证明算子A是有界线性算子，并且可逆，但A?1无界。

0t概率（20，每题4分）

P(x?4)?a,0?a?1则P(x?9|x?5)?____ 1. 随机变量X服从参数为?的指数分布，

(?x2)?2. 已知随机变量X服从N(1,?2)且P(x?0)?a,0?a?1，则P1?___________

23. X?N(2,?12),Y?N(3,?2)，X与Y独立，则P(X?Y?1?0)?___________

4. 设X服从n，p二项分布，则E??____________

5. {xn}?n?1为一列相互独立的随机变量，且都服从参数为1的泊松分布，则

xlimP(?Xi?n)?____________

n??i?1n近世代数（20，每题10分）

一、1.已知H?{(1),(12)}是对称群S3的子群，则H在S3中的中心化子为____________

2.对称群S3中{(12),(123)}生成的子群为____________ 3.若剩余类环{Zn;?;?}是整环，则n满足____________ 4.剩余类子群{Z8;?}中元素4的阶为____________

5.H?{0,4}是{Z8;?}的子群，商群Z8/H的阶为____________ 二、设H是群G的子群，试证明对任意g?G，gHg?1?{ghg?1|h?H}是G的子群。