人教版初中数学九年级下册解直角三角形在实际问题中的运用易错点剖析

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三角函数的应用常见错误示例

一、例1 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 错解： 选A.

错解分析： 该题选A是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.

正解：D.

二、例2 在△ABC中，若sin A=错解： ∵sin A=

2,且a=4,能否求出b,c的值？ 3a242=,∴=,∴c=6. c3c3由勾股定理，得b=c2?a2=36?16=20=25.

错解分析： 对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC并没有说是直角三角形，所以不能当作是直角三角形来求.

正解：不能，因为△ABC不一定是直角三角形.

三、例3 在△ABC中，∠B=90°，BC=3,AB=5，求tan A，cos A的值. 错解： 在Rt△ABC中，AC=tan A=

AB2?BC2=52?32=4.

BC3AC4=,cos A==. AC4AB5错解分析： 题中已指出∠B=90°，所以AC应为Rt△ABC的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C的对边AB是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边.

正解：在Rt△ABC中，∠B=90°， AC=AB2?BC2=25?9=34. tan A=

BC3=, AB55534AB==.

34AC34cos A=

四、例4 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sin A，tan A的值. 错解： 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=∴∠B=30°,∴∠A=90°-∠B=60°. ∴sin A=sin 60°=

1BC， 23, 2资料来源于网络 仅供免费交流使用

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tan A=tan 60°=3.

错解分析：本题错误地认为，在直角三角形中，一条直角边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角就是30°，没有分清斜边和直角边.

正解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=

AC2?BC2=12?22=5.

BC225==，

5AB5∴sin A=

tan A=

BC2==2. AC1五、例5 如图，飞机于空中A处，测得地面目标B处的俯角为α，此时飞机高度AC为a米，则BC的距离为（ ）米.

A.a tanα B.

B

C D

α A a C.a D.a

cos?sin?tan?AC错解：选A.在Rt△ABC中，∠BAC=α,AC=a,∴BC=tanα, ∴BC=AC·tanα=atanα.

错解分析： 本题的错误在于没弄清俯角的定义，俯角是从上往下看时，视线与水平线的夹角，所以∠DAB=α,而不是∠BAC=α.

正解：选B. ∵飞机在A处目测B的俯角为α，∴∠ABC=α. 又∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=a, ∴tan∠ABC=∴BC=

AC, BCACa . =tan?ABCtan?六、 例6 已知0°＜α＜30°,则cosα的取值范围是（ ） A.0＜cosα＜

211 B. ＜cosα＜

222C.

233＜cosα＜ D. ＜cosα＜1

222错解：选A.

错解分析： 误将余弦函数当成正弦函数来求解，余弦函数的函数值是随着锐角度数的增大而减小，

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而正弦函数的函数值才是随着锐角度数的增大而增大.另外容易记错特殊角度的三角函数值也是这种题型的易错点之一，大家在解题过程中要注意多加体会！ 正解：选D. 七、概念不清出错

P

例7 如图，直升机在长江大桥AB上方P点处，此时飞机离地面高度为a cm,且A,B,O三点在一条直线上，测得

a

点A的俯角为α,点B的俯角为β，求长江大桥AB的长度. 错解： 在Rt△AOP中，tan∠APO=∴ OA=OP×tanα. 在Rt△BPO中，∠BPO=β. ∵tan∠BPO=OB,

OPC

OA，∠APO=α, OPO B

A

∴OB=OP·tan∠BPO.

∴AB=OA-OB=OP(tanα-tanβ)=a(tanα-tanβ).

错解分析：把从P点观测A点的俯角误认为∠APO，从P点观测B点的俯角误认为∠BPO，只有弄清俯角的概念才能避免该错误.

正解：根据题意，得 ∠CPA=α，∠BPC=β,∴∠PAO=α，∠PBO=β. 在Rt△POA中，∵tan∠PAO=在Rt△POB中，∵tan∠PBO=∴AB=OA-OB=

OPOP，∴OA=. OAtan?OPOP，∴OB=.

tan?OBOP11OP11-=OP(-)=a(-).

tan?tan?tan?tan?tan?tan?八、忽略直角三角形出错

例8 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c,且a:b:c=3:4:5,求证sinA+sinB=错解：设a=3k,b=4k,c=5k,则sinA=∴sinA+sinB=

7. 5a3k3b4k4==, sinB===, c5k5c5k5347+=. 555错解分析：本题中没有说明∠C=90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC为直角三角形，且∠C=90°后才能用定义. 正解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0). ∵a+b=(3k)+(4k)=25k=c, ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.

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∴∠C=90°.

a3k3b4k4==, sin B===, c5k5c5k5347∴sin A+sin B=+=.

555∴sin A=

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