高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面教案 新人教A版必修2

例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线. 解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,

图19

∴过A、B、C有一个平面β. 又∵AB∩α=P，且AB?β,

∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l, 同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线. 变式训练

三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行. 求证：l1、l2、l3相交于一点.

证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，

图20

∵l1?β，l2?β，且l1、l2不平行, ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P， 则P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3.

∴l1、l2、l3相交于一点P.

点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练

画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.

解：如图21,

图21

∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC，∴E∈平面ACD′. ∵E∈BD，∴E∈平面BDC′. ∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B. ∴EF为所求. 拓展提升

O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上. 解：如图22,连接A1C1、AC，

图22

因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1， 易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1， 所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1. 又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1， 故P在两平面的交线上，即P∈AO1.

点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. 课堂小结

1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.

名称 公理1 公理2 公理3 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. 作用 判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据 作业

课本习题2.1 A组5、6.