数学竞赛几何之圆与扇形

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［巩固］（迎春杯竞赛试题）算图中阴影部分的面积(单位：分米)。

（?取3）

分析：将右边的扇形向左平移，如图所示。两个阴影部分拼成—个直角梯形。(5+10)×5÷2=75÷2=37．5(平方分米)

［拓展］（全国小学数学去奥林匹克）如右图所示，最外面是正方形为4米，图中阴影部分的面积为5平方厘米，那么最里面正方形的边长是多少？

分析：将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，我们可以得到阴影部分最顶端的小三角形为：5?4?4?4?1，所以最小的正方形面积为4，那么其边长为2。

【例5】

右面图中阴影部分的面积(单位：厘米)。（?取3）

分析：将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴影合拼成斜边为4厘米的等腰直角三角形。

如右下图所示，即得：4×4÷4=4(平方厘米)

【例6】 计算右图阴影部分面积。（?取3）

分析：法1：扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴影部分面积，半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积，上面两个阴影部分面积的和既是阴影面积：（25π-50）÷4=25/4。

法2：如右图，我们添加两条辅助线，而后发现可将圆内

弓形割补

到上部，那么阴影部分面积=1/4大圆-正方形 =1/4×3×5×5-1/2×5×5=25/4。

注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。

［巩固］（5年级春季所学题目）计算右图阴影部分面积。（?取3） 分析：如右图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照

右图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出， 原题图的阴影部分等于下右图中AB弧所形成的弓形，其 面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差，

11们求不 即：???22??22?1。切割，拼移补齐是我

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规则图形面积的常用手段。

如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率?取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? （?取3）

分析：如右下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方

【例7】

形面积加上4个的面积减去4个的面积，即加上1个半径为1的圆的

积．所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×π=19平方厘米．

［巩固］（迎春杯数学竞赛）如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？（?取3）

分析：如下图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形。设大圆半径为r，则S2?2r2，：2=57：100 S1??r2?2r2，所以S1：S2=（3.14－2）

移动图形是解这种题目的最好方法，同学们一定要找出图形之间的

关系。

［拓展］右图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? （?取3）

分析：法1：如图所示， 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方

形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同．

每个正方形的面积为(1×1÷2) ×4=0.5×4=2平方厘米， 所以阴影部分的总面积为2×4=8平方厘米．

法2：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等

的小图形

，原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公

共的4个

的面积，即8个

的面积，而阴影部分面积又

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是整个图

形面积减去4个

的面积，即8个

的面积.那么，原题图

中阴影部分面积为4个圆面积减去16个的面积．所以，原题图中阴影

部分总面积为：

4×1×1×3-16×0.25=8(平方厘米)．

【例8】 如右图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是

半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积。（π取3）

分析：连接BD。正方形加上半圆的面积为：10×10＋1/2×5×5×3＝137.5；三角形的面积为：1/2×15×10＝75；

则阴影部分面积为：(137.5－75)÷2＝31.25。

［巩固］计算右图阴影部分面积。（π取3）

分析：采用“补”的思想。三角形内角和是180度，所以阴影部分面积=半圆面积=3/2 。

奇思妙想

【例9】 （小学数学奥林匹克初赛）在右图中，两个四分之一圆弧的半

径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。（?取3）

分析：我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。

左边的阴影 = 大扇形-小扇形-1个长方形中的不规则白色

部分

=大扇形 - 小扇形 -（长方形-右边的阴影）= 大扇形 - 小扇形 - 长方形 +

右边的阴影，

可得：左边的阴影 - 右边的阴影 = 大扇形 - 小扇形 - 长方形 = 1 。

【例10】 （南京市迎春杯试题）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着

的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见右图）。亲爱的小朋友能算出这只羊能够活动的范围有多大吗？（?取3）

分析：（此题十分经典）羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A

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是半径为30米的

3431个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆，羊活动的范围是：4414。 ??302????202????102?4?2512（平方米）

［巩固］（全国小学去奥林匹克）一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。（?取3.14）

分析：如右图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°的扇形之和。所以答案是43.96m2。

【例11】 （第六届华杯赛初赛）如右图，以OA为斜边的直角三角形的面

积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以0点为中心旋转900，问：三角形扫过的面积是多少?（?取3）

分析：由图中可以看出，直角三角形扫过的面积恰好等于一个三角形的面积与四分之一个圆的面积之和．圆的半径就是三角形斜边OA．因此三角形扫过

1的面积是：24???10?10?24?25?=24+25×3=99(平方厘米).

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［拓展］如图，ABCD是一个长为4，宽为3的长方形.它绕C点按顺时针方向旋转90度，求AB边扫过图形的面积. （?取3）

分析：整个图形面积为长方形ABCD面积加大扇形面积，图中阴影面积可用整个图形面积减去长方形ABCD和小扇形BCB’的面积即可求得.即

1152?3??32?3??12.

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［拓展］（04年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（?取3）

分析：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：

第一部分：半径为6厘米，中心角为90度的扇形减去半径为4厘米，中心角为

（62??-42??）?4=5??15； 90度的扇形，面积为：

第二部分是半径为1厘米的2个半圆，总面积是3，所以扫过的面积为18平

方厘米.

专题展望

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