矩阵分析与计算（博）样题

计算题

一．(1) 设A????，①求A的Jordan标准形J。可参照 P16例1.3

进行求解。

②求矩阵函数eAt、sinA。可参照P127例6.5进行求解。

(2) 设?矩阵A(?)????，求A(?)的Smith标准形和不变因子。可参照 P10例1.1进行求解。

二．已知函数矩阵sinAt或eAt，求矩阵A．类似题如P131例6.8。

三．设A????,(1) 求A1，A2，A?； (2) 若给以扰动?A?R3?3使?AA22?0.001，并设X,X分别为方程组AX?b

与?A??A?X?b的唯一解,试估计

X?XX22的范围，这里b?R3,b?0。用

P59定理2.18，类似题如P60例2.21。

四．（1）运用盖尔圆定理隔离矩阵A????的特征值。可参照P92例4.3。

（2）写出规范化的幂迭代法公式（P93（4.3）），并求矩阵A????的按模最大的特征值及特征向量（计算4步）。类似题如P94例4.4或课件上的例4.4。

五．已知A????,b????，

(1)用满秩分解法求A的Moore?Penrose广义逆A?。 (2)用广义逆矩阵方法判断线性方程组AX?b是否有解。

(3)求线性方程组AX?b的极小范数解或极小范数最小二乘解。可参照P110例5.4、P117定理5.12及P155例8.1。

六．（1）用列主元法计算线性方程组AX?b的解。类似题如P145例7.2；

（2）用Doolittle分解法计算线性方程组AX?b的解。类似题如P64例3.1及P147例7.3。

七．写出解线性方程组AX?b的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，

并讨论其收敛性。可参照P164例9.1、9.2及P167例9.3。

八．写出共轭梯度法公式（P174），用共轭梯度法计算线性方程组

AX?b的解。类似题如

P174例9.5。

九．用Givens变换化向量x与e共线。类似题如P73例3.5。

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证明题

一．(1)、P25定理1.13的证明。(2)、P31推论1.13的证明。 二．(1)、P43定理2.2的证明。(2)、P55定理2.15的证明。 三．(1)、P67定理3.3的证明。(2)、P72定理3.6的证明。 四．(1)、P106定理5.4的证明。(2)、P172定理9.12的证明。