2020年河南省中考数学压轴题专题10一次函数与反比例函数综合题

专题10一次函数与反比例函数综合题

【例1】（2019·偃师一模）如图，直线l：y=ax+b交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点B(0，-3)，交反比例函数y ?

k于第一象限的点P，点P的横坐标为4. xk的解析式； xk的图象于点C，求△OPC的面积. x（1）求反比例函数y ?

（2）过点P作直线l的垂线l1，交反比例函数y?

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵y=ax+b 交 x轴于点A(3，0)，交 y轴于点 B(0，-3)， ∴3a+b=0，b=－3， 解得：a=1，

即l1的解析式为：y=x－3， 当x=4时，y=1，即P（4,1），

k得：k=4， x4即反比函数的解析式为：y?；

x将P点坐标代入y?

（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E，D，

∵OA=OB=3，

∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵l⊥l1， ∴∠DPB=90°， ∴∠ODP=45°，

设直线l1的解析式为：y=－x+b， 将点P(4,1)代入得：b=5， 联立：y=－x+5，y?

4，解得： xx=1，y=4或x=4，y=1，

即C(1,4)，

∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE

111×5×5－×5×1－×5×1 22215=. 2=

【变式1-1】（2018·河南第一次大联考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=–的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

1kx+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y?2x

（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形OABC为矩形， ∴OA=BC=2， 在y=–

1x+3中，y=2时，x=2， 2即M(2,2),

k得：k=4， x4∴反比例函数的解析式为：y?.

x4（2）在y?中，当x=4时，y=1，

x将M（2，2）代入y?即CN=1，

∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON

=4×2－=4，

∴S△OPM=4， 即

11×2×2－×4×1 221·OP·OA=4， 2∵OA=2， ∴OP=4，

∴点P的坐标为（4,0）或（－4,0）.

【例2】（2019·济源一模）已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数y ?

m（x＞0）的图x象交于点P，PA⊥x 轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△DBP=27，

OC1?. CA2（1）求点 D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象写出x取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数y ?

m的值． x

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交， ∴令x=0，解得y=3， ∴D的坐标为（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°， ∴Rt△COD∽Rt△CAP， ∴

ODOC1??，OD=3， APAC2∴AP=OB=6， ∴DB=OD+OB=9， ∵S△DBP=27， 即

DP?BP＝27， 2∴BP=6， ∴P（6，-6），

把P坐标代入y=kx+3，得到k=?则一次函数的解析式为：y＝?3， 23x+3； 2把P坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，

36则反比例解析式为：y＝?；

x363（3）联立y＝?，y＝?x+3得：

2xx=－4，y=9或x=6，y=－6，

即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），